Exercício Resolvido de Fluidos
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Um sólido flutua em água com 1/8 do seu volume imerso. O mesmo corpo flutua em óleo com 1/6 do seu volume imerso. Determine a relação da densidade do óleo do para a densidade da água da.


Dados do problema:
  • Fração do volume do corpo imerso em água:    \( \dfrac{1}{8}V \);
  • Fração do volume do corpo imerso em óleo:    \( \dfrac{1}{6}V \).
Esquema do problema:

Quando o corpo é imerso em água   \( \dfrac{1}{8} \)  do seu volume afunda deslocando uma massa de água igual à massa de todo o corpo, a força de empuxo e a força peso se equilibram (Figura 1).

Figura 1

Quando o corpo é imerso em óleo   \( \dfrac{1}{6} \)   do seu volume afunda deslocando uma massa de óleo igual à massa de todo o corpo, a força de empuxo e a força peso se equilibram.

Solução

Como o corpo está em equilíbrio a força peso   \( \vec P \)   e a força de empuxo   \( \vec E \)   se anulam
\[ \begin{gather} E=P \tag{I} \end{gather} \]
A força de empuxo é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E=m_{L}g} \tag{II} \end{gather} \]
onde mL é massa de água deslocada.
A densidade de um corpo é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {d=\frac{m}{V}} \tag{III} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} m=dV \tag{IV} \end{gather} \]
Usando a expressão (IV) a massa de líquido deslocado será
\[ \begin{gather} m_{L}=d_{L}V_{L} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a expressão (V) na expressão (II)
\[ \begin{gather} E=d_{L}V_{L}g \tag{VI} \end{gather} \]
  • Corpo flutuando na água:
Substituindo a expressão (VI) na expressão (I), e usando a condição do problema de que o volume de água deslocado Va é   \( \dfrac{1}{8} \)   do volume total do corpo
\[ \begin{gather} E=d_{a}\left(\frac{1}{8}V\right)g \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VII) na expressão (I)
\[ \begin{gather} \frac{1}{8}d_{a}Vg=P \tag{VIII} \end{gather} \]
  • Corpo flutuando no óleo:
Substituindo a expressão (VI) na expressão (I), e usando a condição do problema de que o volume de óleo deslocado Vo é   \( \dfrac{1}{6} \)   do volume total do corpo
\[ \begin{gather} E=d_{o}\left(\frac{1}{6}V\right)g \tag{IX} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IX) na expressão (I)
\[ \begin{gather} \frac{1}{6}d_{o}Vg=P \tag{X} \end{gather} \]
Igualando as expressões (VIII) e (X)
\[ \frac{1}{8}d_{a}\cancel{V}\cancel{g}=\frac{1}{6}d_{o}\cancel{V}\cancel{g} \]
simplificando o volume V e a aceleração da gravidade g de ambos os lados da igualdade
\[ \begin{gather} \frac{1}{8}d_{a}=\frac{1}{6}d_{o}\\ \frac{d_{o}}{d_{a}}=\frac{6}{8} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{d_{o}}{d_{a}}=\frac{3}{4}} \]

Observação: A densidade do óleo será 0,75 da densidade da água ou 75% da densidade da água (menos denso). O corpo afunda mais no óleo por ser menos denso que a água portanto, produz uma menor força de empuxo.
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