Duas esferas idênticas, A e B, estão colocadas em uma caixa. A reta que liga o centro das
duas esferas forma um ângulo de 45° com a horizontal, e a força de reação exercida pelo fundo da caixa
sobre a esfera B é de 25 N. Determinar a furça de reação que a caixa exerce sobre as esferas nos
pontos de contato entre as esferas e a caixa, e a força que exerce a esfera A sobre a esfera
B.
Dados do problema:
- Força de reação do fundo da caixa na esfera B: FR = 25 N;
- Ângulo entre a reta que liga o centro das esferas e a horizontal: θ = 45°;
- Aceleração da gravidade: g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:
Fazendo Diagramas de Corpos Livre, temos as forças que atuam no sistema (Figura 1).
-
Caixa:
- \( -{\vec F}_{\small R} \): força que a esfera B exerce no fundo da caixa;
- \( {\vec F}_{\small A} \): força que a esfera A exerce na parede lateral da caixa;
- \( -{\vec F}_{\small B} \): força que a esfera B exerce na parede lateral da caixa;
O peso da caixa foi desprezado.
-
Esfera A:
- \( \vec P \): peso da esfera A;
- \( {\vec F}_{\small{AB}} \): força de contato na esfera A devido à esfera B;
- \( -{\vec F}_{\small A} \): força de reação da caixa sobre a esfera A.
-
Esfera B:
- \( \vec{P} \): peso da esfera B;
- \( {\vec F}_{\small{BA}} \): força de contato na esfera B devido à esfera A, \( |\;{\vec F}_{\small{BA}}\;|=|\;{\vec F}_{\small{AB}}\;| \);
- \( {\vec F}_{\small R} \): força de reação do fundo da caixa sobre a esfera B;
- \( {\vec F}_{B} \): força de reação da caixa sobre a esfera B.
Solução:
Como o sistema está em equilíbrio a resultante das forças é igual à zero.
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum _i F_i=0} \tag{I}
\end{gather}
\]
Desenhamos as forças em um sistema de coordenadas xy (Figuras 2 e 3) e obtemos suas componentes ao
longo das direções x e y
- Esfera A:
- Direção x:
- \( F_{\small Ax}=-F_{\small A} \)
- \( F_{\small{AB}x}=F_{\small{AB}}\cos\theta \)
Aplicando a condição de equilíbrio (I)
\[
\begin{gather}
F_{\small{AB}x}-F_{\small A}=0 \\[5pt]
F_{\small{AB}}\cos\theta-F_{\small A}=0 \tag{II}
\end{gather}
\]
- Esfera A:
- Direção y:
- \( P_y=-P \)
- \( F_{\small{AB}y}=F_{\small{AB}}\operatorname{sen}\theta \)
Aplicando a condição de equilíbrio (I)
\[
\begin{gather}
F_{\small{AB}y}-P_y=0 \\[5pt]
F_{\small{AB}}\operatorname{sen}\theta-P=0 \tag{III}
\end{gather}
\]
A força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IV) na equação (III)
\[
\begin{gather}
F_{\small{AB}}\operatorname{sen}\theta-mg=0 \tag{V}
\end{gather}
\]
- Esfera B:
- Direção x:
- \( F_{\small Bx}=F_{\small B} \)
- \( F_{\small{BA}x}=-F_{\small{BA}}\cos\theta=-F_{\small{AB}}\cos\theta \)
Aplicando a condição de equilíbrio (I)
\[
\begin{gather}
F_{\small B}-F_{\small{BA}x}=0 \\[5pt]
F_{\small B}-F_{\small{AB}}\cos\theta=0 \tag{VI}
\end{gather}
\]
- Esfera B:
- Direção y:
- \( P_y=-P \)
- \( F_{\small Ry}=F_{\small R} \)
- \( F_{\small{BA}y}=-F_{\small{BA}}\operatorname{sen}\theta-F_{\small{AB}}\operatorname{sen}\theta \)
Aplicando a condição de equilíbrio (I)
\[
\begin{gather}
F_{\small R}-F_{\small{BA}y}-P=0 \\[5pt]
F_{\small R}-F_{\small{AB}}\operatorname{sen}\theta-P=0 \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IV) na equação (VII)
\[
\begin{gather}
F_{\small R}-F_{\small{AB}}\operatorname{sen}\theta-mg=0 \tag{VIII}
\end{gather}
\]
A equações (II), (III), (VI) e (VIII) formam um sistema de quatro equações a quatro incógnitas
(FA, FAB, m e θ)
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
F_{\small B}-F_{\small{AB}}\cos\theta=0 \\
F_{\small{AB}}\cos\theta-F_{\small A}=0 \\
F_{\small{AB}}\operatorname{sen}\theta-mg=0 \\
F_{\small R}-F_{\small{AB}}\operatorname{sen}\theta-mg=0
\end{array}
\right.
\end{gather}
\]
da terceira equação do sistema, escrevemos
\[
\begin{gather}
F_{\small{AB}}\operatorname{sen}\theta-mg=0 \\[5pt]
F_{\small{AB}}\operatorname{sen}\theta=mg
\end{gather}
\]
substituindo este valor na quarta equação do sistema
\[
\begin{gather}
F_{\small R}-mg-mg=0 \\[5pt]
2mg=F_{\small R} \\[5pt]
m=\frac{F_{\small R}}{2g} \\[5pt]
m=\frac{25}{2\times 9,8}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{m=1,28\;\mathrm{kg}}
\end{gather}
\]
Substituindo este valor da massa na terceira equação do sistema
\[
\begin{gather}
F_{\small{AB}}\operatorname{sen}\theta-mg=0 \\[5pt]
F_{\small{AB}}=\frac{mg}{\operatorname{sen}\theta}
\end{gather}
\]
Da Trigonometria, para θ = 45°,
\( \cos 45°=\operatorname{sen}45°=\frac{\sqrt{2\;}}{2} \)
\[
\begin{gather}
F_{\small{AB}}=\frac{1,28\times 9,8}{\dfrac{\sqrt{2\;}}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{F_{\small{AB}}=17,7\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
Substituindo este valor da força entre as esferas A e B na primeira e na segunda equações
do sistema
\[
\begin{gather}
F_{\small B}-F_{\small{AB}}\cos\theta=0 \\[5pt]
F_{\small B}=F_{\small{AB}}\cos\theta \\[5pt]
F_{\small B}=17,7\times\frac{\sqrt{2\;}}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{F_{\small B}=12,5\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F_{\small{AB}}\cos\theta-F_{\small A}=0 \\[5pt]
F_{\small A}=F_{\small{AB}}\cos\theta \\[5pt]
F_{\small A}=17,7\times\frac{\sqrt{2\;}}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{F_{\small A}=12,5\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
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FR
