Exercício Resolvido de Estática
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Duas esferas idênticas, A e B, estão colocadas em uma caixa. A força de reação exercida pelo fundo da caixa sobre a esfera B é de 25 N.
a) Determinar a massa das esferas;
b) Encontrar a relação entre as forças de reação da caixa sobre as esferas.


Dados do problema:
  • Força de reação do fundo da caixa na esfera B:    FR = 25 N;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:

Figura 1

Separamos os corpos e pequisamos as forças que atuam em cada um

Caixa:
  • \( -{\vec F}_{R} \): força que a esfera B exerce no fundo da caixa;
  • \( {\vec F}_{A} \): força que a esfera A exerce na parede lateral da caixa;
  • \( -{\vec F}_{B} \): força que a esfera B exerce na parede lateral da caixa;
o peso da caixa foi desprezado.

Esfera A:
  • \( \vec{P} \): peso da esfera A;
  • \( {\vec F}_{AB} \): força de contato na esfera A devido à esfera B;
  • \( -{\vec F}_{A} \): força de reação da caixa sobre a esfera A.
Esfera B:
  • \( \vec{P} \): peso da esfera B;
  • \( {\vec F}_{BA} \): força de contato na esfera B devido à esfera A, \( |\;{\vec{F}}_{BA}\;|=|\;{\vec{F}}_{AB}\;| \);
  • \( {\vec F}_{R} \): força de reação do fundo da caixa sobre a esfera B;
  • \( {\vec F}_{B} \): força de reação da caixa sobre a esfera B.
Solução

Desenhamos as forças em um sistema de eixos coordenados xy (Figuras 2 e 3), podemos obter suas componentes ao longo das direções x e y e aplicar a condição de equilíbrio
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum _{i}F_{i}=0} \tag{I} \end{gather} \]
  • Esfera A:
Direção x:
\[ \begin{gather} F_{ABx}-F_{A}=0 \end{gather} \]
sendo \( F_{ABx}=F_{AB}\cos \theta \)
\[ \begin{gather} F_{AB}\cos \theta -F_{A}=0 \tag{II} \end{gather} \]
Direção y:
\[ \begin{gather} F_{ABy}-P=0 \end{gather} \]
sendo \( F_{ABy}=F_{AB}\operatorname{sen}\theta \)
\[ \begin{gather} F_{AB}\operatorname{sen}\theta -P=0 \tag{III} \end{gather} \]
Figura 2

  • Esfera B:
Direção x:
\[ \begin{gather} F_{B}-F_{BAx}=0 \end{gather} \]
sendo \( F_{BAx}=F_{BA}\cos \theta \)
\[ \begin{gather} F_{B}-F_{BA}\cos \theta =0 \tag{IV} \end{gather} \]
Direção y:
\[ \begin{gather} F_{R}-F_{BAy}-P=0 \end{gather} \]
sendo \( F_{BAy}=F_{BA}\operatorname{sen}\theta \)
\[ \begin{gather} F_{R}-F_{BA}\operatorname{sen}\theta -P=0 \tag{V} \end{gather} \]
Figura 3

a) A força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VI) nas expressões (III) e (V)
\[ \begin{gather} F_{AB}\operatorname{sen}\theta -9,8m=0 \tag{VII} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} F_{R}-F_{BA}\operatorname{sen}\theta -9,8m=0 \tag{VIII} \end{gather} \]
Da expressão (VII)
\[ \begin{gather} F_{AB}\operatorname{sen}\theta =9,8m \tag{IX} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IX) na expressão (VIII)
\[ \begin{gather} 25-9,8m-9,8m=0\\[5pt] 19,6m=25\\[5pt] m=\frac{25}{19,6} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {m=1,28\;\text{kg}} \end{gather} \]

b) Usando as expressões (II) e (IV) na direção x obtemos a relação entre as forças de reação da caixa sobre as esferas
\[ \begin{gather} F_{A}=F_{AB}\cos \theta\\[5pt] F_{B}=F_{BA}\cos \theta \end{gather} \]
como FAB=FBA, dividindo uma equação pela outra
\[ \begin{gather} \frac{F_{A}}{F_{B}}=\frac{F_{AB}\cos \theta}{F_{AB}\cos \theta } \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{F_{A}}{F_{B}}=1} \end{gather} \]
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