Duas esferas idênticas, A e B, estão colocadas em uma caixa. A força de reação exercida
pelo fundo da caixa sobre a esfera B é de 25 N.
a) Determinar a massa das esferas;
b) Encontrar a relação entre as forças de reação da caixa sobre as esferas.
Dados do problema:
- Força de reação do fundo da caixa na esfera B: FR = 25 N;
- Aceleração da gravidade: g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:
Separamos os corpos e pequisamos as forças que atuam em cada um
Caixa:
- \( -{\vec F}_{R} \): força que a esfera B exerce no fundo da caixa;
- \( {\vec F}_{A} \): força que a esfera A exerce na parede lateral da caixa;
- \( -{\vec F}_{B} \): força que a esfera B exerce na parede lateral da caixa;
o peso da caixa foi desprezado.
Esfera
A:
- \( \vec{P} \): peso da esfera A;
- \( {\vec F}_{AB} \): força de contato na esfera A devido à esfera B;
- \( -{\vec F}_{A} \): força de reação da caixa sobre a esfera A.
Esfera
B:
- \( \vec{P} \): peso da esfera B;
- \( {\vec F}_{BA} \): força de contato na esfera B devido à esfera A, \( |\;{\vec{F}}_{BA}\;|=|\;{\vec{F}}_{AB}\;| \);
- \( {\vec F}_{R} \): força de reação do fundo da caixa sobre a esfera B;
- \( {\vec F}_{B} \): força de reação da caixa sobre a esfera B.
Solução
Desenhamos as forças em um sistema de eixos coordenados
xy (Figuras 2 e 3), podemos obter suas
componentes ao longo das direções
x e
y e aplicar a condição de equilíbrio
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum _{i}F_{i}=0} \tag{I}
\end{gather}
\]
Direção
x:
\[
\begin{gather}
F_{ABx}-F_{A}=0
\end{gather}
\]
sendo
\( F_{ABx}=F_{AB}\cos \theta \)
\[
\begin{gather}
F_{AB}\cos \theta -F_{A}=0 \tag{II}
\end{gather}
\]
Direção
y:
\[
\begin{gather}
F_{ABy}-P=0
\end{gather}
\]
sendo
\( F_{ABy}=F_{AB}\operatorname{sen}\theta \)
\[
\begin{gather}
F_{AB}\operatorname{sen}\theta -P=0 \tag{III}
\end{gather}
\]
Direção
x:
\[
\begin{gather}
F_{B}-F_{BAx}=0
\end{gather}
\]
sendo
\( F_{BAx}=F_{BA}\cos \theta \)
\[
\begin{gather}
F_{B}-F_{BA}\cos \theta =0 \tag{IV}
\end{gather}
\]
Direção
y:
\[
\begin{gather}
F_{R}-F_{BAy}-P=0
\end{gather}
\]
sendo
\( F_{BAy}=F_{BA}\operatorname{sen}\theta \)
\[
\begin{gather}
F_{R}-F_{BA}\operatorname{sen}\theta -P=0 \tag{V}
\end{gather}
\]
a) A força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VI) nas expressões (III) e (V)
\[
\begin{gather}
F_{AB}\operatorname{sen}\theta -9,8m=0 \tag{VII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F_{R}-F_{BA}\operatorname{sen}\theta -9,8m=0 \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Da expressão (VII)
\[
\begin{gather}
F_{AB}\operatorname{sen}\theta =9,8m \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IX) na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
25-9,8m-9,8m=0\\[5pt]
19,6m=25\\[5pt]
m=\frac{25}{19,6}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{m=1,28\;\text{kg}}
\end{gather}
\]
b) Usando as expressões (II) e (IV) na direção
x obtemos a relação entre as forças de reação da caixa
sobre as esferas
\[
\begin{gather}
F_{A}=F_{AB}\cos \theta\\[5pt]
F_{B}=F_{BA}\cos \theta
\end{gather}
\]
como
FAB=
FBA, dividindo uma equação pela outra
\[
\begin{gather}
\frac{F_{A}}{F_{B}}=\frac{F_{AB}\cos \theta}{F_{AB}\cos \theta }
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{F_{A}}{F_{B}}=1}
\end{gather}
\]