Exercício Resolvido de Estática
publicidade

Um corpo, de massa 200 kg, é mantido em equilíbrio sobre um plano inclinado de 30° em relação à horizontal por uma corda que passa por uma polia fixa, e que sustenta na outra extremidade um corpo de massa M. A corda forma com a reta inclinada do plano um ângulo de 45°. Determinar:
a) A massa M;
b) A força exercida pelo corpo contra o plano.

Dados do problema:

  • Massa do corpo no plano inclinado: m=200 kg;
  • Ângulo do plano inclinado com a horizontal: 30°;
  • Ângulo da corda com o plano inclinado: 45°;
  • Aceleração da gravidade: g=9,8 m/s2.

Esquema do problema:

Isolamos os corpos e pesquisamos as forças que atuam em cada um deles.

  • Corpo de massa M (Figura 1):

    • \( \vec T \): força de tensão na corda;
    • \( {\vec P}_{\small M} \): força peso do corpo suspenso.
Figura 1
  • Corpo de massa 200 kg (Figura 2):
    • \( \vec T \): força de tensão na corda;
    • \( {\vec P}_i \): força peso do corpo no plano inclinado;
    • \( \vec N \): força normal de reação do plano sobre o bloco.
Figura 2

Solução:

Como o sistema está em equilíbrio, a resultante das forças que atuam sobre ele é igual à zero

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum \vec F=0} \tag{I} \end{gather} \]
  • Corpo de massa M (Figura 1):

Na direção horizontal não existem forças atuando. Na direção vertical a força peso \( {\vec P}_{\small M} \) e a força de tensão \( \vec T \) se anulam, aplicando a condição (I)

\[ \begin{gather} T-P_{\small M}=0 \tag{II} \end{gather} \]
  • Corpo de massa 200 kg:

Para o bloco sobre o plano inclinado escolhemos um sistema de referência xy com eixo-x na direção do plano inclinado e apontando para cima e eiso-y na direção perpendicular ao plano inclinado (Figura 3 à esquerda).
No triângulo ΔAQM, o cateto \( \overline{QM} \) é representado pela força peso \( \vec P \). Devemos achar o ângulo que a força peso forma com as direções perpendiculares, y, e paralela, x, ao plano inclinado.
O ângulo \( Q\hat AM \) é dado no problema igual à 30°, o segmento \( \overline{QM} \) (direção onde está a força peso) é perpendicular ao segmento \( \overline{AC} \). Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual à 180°, então o ângulo \( A\hat QM \) deve ser

\[ \begin{gather} A\hat QM+30°+90°=180° \\[5pt] A\hat QM=180°-30°-90° \\[5pt] A\hat QM=60° \end{gather} \]
Figura 3

Para determinarmos o valor do ângulo α (Figura 3 à direita, ampliada) o ângulo \( A\hat QM \) vale 60° e o segmento \( \overline{QN} \) é perpendicular ao segmento \( \overline{AB} \), forma um ângulo de 90º. Então a soma destes ângulos com o ângulo α deve ser 180°

\[ \begin{gather} 60°+90°+\alpha=180° \\[5pt] \alpha=180°-60°-90° \\[5pt] \alpha=30° \end{gather} \]

Desenhando as forças em um sistema de coordenadas xy (Figura 4), obtemos suas componentes ao longo das direções x e y.

Componentes ao longo do eixo-x
  • \( N_x=0 \)
  • \( T_x=T\cos 45° \)
  • \( P_{ix}=-P_i\cos 60° \)
Aplicando a condição de equilíbrio (I)
\[ \begin{gather} N_x+T\cos 45°-P_i\cos 60°=0 \\[5pt] T\cos 45°-P_i\cos 60°=0 \tag{III} \end{gather} \]
Figura 4

Componentes ao longo do eixo-y

  • \( N_y=N \)
  • \( T_y=T\operatorname{sen}45° \)
  • \( P_{iy}=-P_i\operatorname{sen}60° \)

Aplicando a condição de equilíbrio (I)

\[ \begin{gather} N+T\operatorname{sen}45°-P_i\operatorname{sen}60°=0 \tag{IV} \end{gather} \]

a) A força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]
Da Trigonometria
\( \cos 45°=\operatorname{sen}45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \)
\( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \), \( \operatorname{sen}60°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \)

As equações (II), (III) e (IV) formam um sistema de três equações a três incógnitas (N, T e M)

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} T-Mg=0 \\ \dfrac{\sqrt{2\;}}{2}T-\dfrac{1}{2}mg=0 \\ N+\dfrac{\sqrt{2\;}}{2}T-\dfrac{\sqrt{\;3\;}}{2}mg=0 \tag{V} \end{array} \right. \end{gather} \]

isolando o valor a força de tensão, T, na primeira equação do sistema (V)

\[ \begin{gather} T=Mg \tag{VI} \end{gather} \]

e substituindo na segunda equação do sistema (V)

\[ \begin{gather} \frac{\sqrt{2\;}}{2}Mg-\frac{1}{2}mg=0 \\[5pt] \frac{\sqrt{2\;}}{\cancel 2}M\cancel g=\frac{1}{\cancel 2}m\cancel g \\[5pt] \sqrt{2\;}M=m \\[5pt] M=\frac{m}{\sqrt{2\;}} \end{gather} \]

substituindo o valor de m dado no problema e \( \sqrt{2\;}\approx 1,4142 \)

\[ \begin{gather} M=\frac{200}{1,4142} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {M=141,4\;\mathrm{kg}} \end{gather} \]

b) A força exercida sobre o plano \( F_p \) será dada pela componente y da força peso sobre o plano inclinado

\[ \begin{gather} F_p=P_{iy}=-P_i\operatorname{sen}60° \\[5pt] F_p=-mg\operatorname{sen}60° \\[5pt] F_p=-200\times 9,8\times\frac{\sqrt{3\;}}{2} \end{gather} \]

sendo \( \sqrt{3\;}\approx 1,7321 \)

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_p=-1697\;\mathrm N} \end{gather} \]
publicidade