Exercício Resolvido de Estática
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Um corpo, de massa 200 kg, é mantido em equilíbrio sobre um plano inclinado de 30° em relação à horizontal por uma corda que passa por uma polia fixa, e que sustenta na outra extremidade um corpo de massa M. A corda forma com a reta inclinada do plano um ângulo de 45°. Determinar:
a) A massa M;
b) A força exercida pelo corpo contra o plano.


Dados do problema:
  • Massa do corpo no plano inclinado:    m=200 kg;
  • Ângulo do plano inclinado com a horizontal:    30°;
  • Ângulo da corda com o plano inclinado:    45°;
  • Aceleração da gravidade:    g=9,8 m/s2.
Esquema do problema:

Isolamos os corpos e pesquisamos as forças que atuam neles e aplicamos para o sistema a condição de equilíbrio, a somatória de todas as forças é igual a zero
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum \vec{F}=0} \tag{I} \end{gather} \]
Corpo de massa M:
  • \( \vec{T} \): força de tensão na corda;
  • \( {\vec{P}}_{{M}} \): força peso do corpo suspenso.
Na direção horizontal não existem forças atuando. Na direção vertical a força peso \( {\vec{P}}_{{M}} \) e a força de tensão \( \vec{T} \) se anulam (Figura 1)
\[ \begin{gather} T-P_{{M}}=0 \tag{II} \end{gather} \]

Figura 1

Corpo de massa 200 kg (Figura 2):
  • \( \vec{T} \): força de tensão na corda;
  • \( {\vec P}_{i} \): força peso do corpo;
  • \( \vec{N} \): força normal de reação do plano sobre o bloco.
Escolhemos um sistema de referência xy com eixo-x na direção do plano inclinado e apontando para cima (Figura 3)

Figura 2

Devemos achar o ângulo que a força peso forma com as direções perpendiculares (y) e paralela (x) ao plano inclinado (Figura 3).
O ângulo \( Q\hat{A}M \) é dado no problema igual à 30°, o segmento \( \overline{{QM}} \) (direção onde está a força peso) é perpendicular ao segmento \( \overline{{AC}} \), como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual à 180°, então o ângulo \( A\hat{Q}M \) deve ser
\[ \begin{gather} A\hat{Q}M+30°+90°=180°\\[5pt] A\hat{Q}M=180°-30°-90°\\[5pt] A\hat{Q}M=60° \end{gather} \]
Figura 3

Para determinarmos o valor do ângulo α (Figura 4), vamos ampliar a região em vermelho da Figura 3. O ângulo \( A\hat{Q}M \) vale 60° e o segmento \( \overline{QN} \) é perpendicular ao segmento \( \overline{AB} \), forma um ângulo de 90º, então a soma destes ângulos com o ângulo α procurado deve ser 180°
\[ \begin{gather} 60°+90°+\alpha=180°\\[5pt] \alpha=180°-60°-90°\\[5pt] \alpha=30° \end{gather} \]
Desenhando as forças num sistema de eixos coordenados xy (Figura 5), podemos obter suas componentes ao longo das direções x e y.

Figura 4

Componentes ao longo do eixo-x
  • \( N_{x}=0 \)
  • \( T_{x}=T\cos 45° \)
  • \( P_{ix}=-P_{{i}}\cos 60° \)
Aplicando a condição de equilíbrio (I)
\[ \begin{gather} N_{{x}}+T\cos 45°-P_{{i}}\cos 60°=0\\[5pt] T\cos 45°-P_{{i}}\cos 60°=0 \tag{III} \end{gather} \]

Figura 5

Componentes ao longo do eixo-y
  • \( N_{y}=N \)
  • \( T_{y}=T\operatorname{sen}45° \)
  • \( P_{iy}=-P_{{i}}\operatorname{sen}60° \)
Aplicando a condição de equilíbrio (I)
\[ \begin{gather} N+T\operatorname{sen}45°-P_{{i}}\operatorname{sen}60°=0 \tag{IV} \end{gather} \]
Solução

a) A força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]
Lembrando da Trigonometria
\[ \cos 45°=\operatorname{sen}45°=\frac{\sqrt{2\,}}{2} \]
\[ \cos 60°=\frac{1}{2} \]
\[ \operatorname{sen}60°=\frac{\sqrt{3\,}}{2} \]

As equações (II), (III) e (IV) formam um sistema de três equações a três incógnitas, N, T e M
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} T-Mg=0\\ \dfrac{\sqrt{\,2\,}}{2}T-\dfrac{1}{2}mg=0\\ N+\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{2}T-\dfrac{\sqrt{\,3\,}}{2}mg=0 \tag{V} \end{array} \right. \end{gather} \]
isolando o valor a força de tensão na primeira equação do sistema (V)
\[ \begin{gather} T=Mg \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo na segunda equação do sistema (V)
\[ \begin{gather} \frac{\sqrt{\,2\,}}{2}Mg-\frac{1}{2}mg=0\\[5pt] \frac{\sqrt{\,2\,}}{\cancel{2}}M\cancel{g}=\frac{1}{\cancel{2}}m\cancel{g}\\[5pt] \sqrt{\,2\,}M=m\\[5pt] M=\frac{m}{\sqrt{2\,}} \end{gather} \]
substituindo o valor de m dado no problema e \( \sqrt{2\,}\approx 1,4142 \)
\[ \begin{gather} M=\frac{200}{1,4142} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {M=141,4\ \text{kg}} \end{gather} \]

b) A força exercida sobre o plano \( F_{p} \) será dada pelo componente y da força peso sobre o plano inclinado
\[ \begin{gather} F_{p}=P_{iy}=-P_{{i}}\operatorname{sen}60°\\[5pt] F_{p}=-mg\operatorname{sen}60°\\[5pt] F_{{p}}=-200.9,8.\frac{\sqrt{3\,}}{2} \end{gather} \]
sendo \( \sqrt{3\,}\approx 1,7321 \)
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{{p}}=-1697\ \text{N}} \end{gather} \]
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