Um corpo, de massa 200 kg, é mantido em equilíbrio sobre um plano inclinado de 30° em relação à
horizontal por uma corda que passa por uma polia fixa, e que sustenta na outra extremidade um corpo de
massa M. A corda forma com a reta inclinada do plano um ângulo de 45°. Determinar:
a) A massa M;
b) A força exercida pelo corpo contra o plano.
Dados do problema:
- Massa do corpo no plano inclinado: m=200 kg;
- Ângulo do plano inclinado com a horizontal: 30°;
- Ângulo da corda com o plano inclinado: 45°;
- Aceleração da gravidade: g=9,8 m/s2.
Esquema do problema:
Isolamos os corpos e pesquisamos as forças que atuam neles e aplicamos para o sistema a condição de
equilíbrio, a somatória de todas as forças é igual a zero
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum \vec{F}=0} \tag{I}
\end{gather}
\]
Corpo de massa
M:
- \( \vec{T} \): força de tensão na corda;
- \( {\vec{P}}_{{M}} \): força peso do corpo suspenso.
Na direção horizontal não existem forças atuando. Na direção vertical a força peso
\( {\vec{P}}_{{M}} \)
e a força de tensão
\( \vec{T} \)
se anulam (Figura 1)
\[
\begin{gather}
T-P_{{M}}=0 \tag{II}
\end{gather}
\]
Figura 1
Corpo de massa 200 kg (Figura 2):
- \( \vec{T} \): força de tensão na corda;
- \( {\vec P}_{i} \): força peso do corpo;
- \( \vec{N} \): força normal de reação do plano sobre o bloco.
Escolhemos um sistema de referência
xy com eixo-
x na direção do plano inclinado e apontando
para cima (Figura 3)
Figura 2
Devemos achar o ângulo que a força peso forma com as direções perpendiculares (
y) e paralela (
x) ao
plano inclinado (Figura 3).
O ângulo
\( Q\hat{A}M \)
é dado no problema igual à 30°, o segmento
\( \overline{{QM}} \)
(direção onde está a força peso) é perpendicular ao segmento
\( \overline{{AC}} \),
como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual à 180°, então o ângulo
\( A\hat{Q}M \)
deve ser
\[
\begin{gather}
A\hat{Q}M+30°+90°=180°\\[5pt]
A\hat{Q}M=180°-30°-90°\\[5pt]
A\hat{Q}M=60°
\end{gather}
\]
Para determinarmos o valor do ângulo α (Figura 4), vamos ampliar a região em vermelho da Figura 3.
O ângulo
\( A\hat{Q}M \)
vale 60° e o segmento
\( \overline{QN} \)
é perpendicular ao segmento
\( \overline{AB} \),
forma um ângulo de 90º, então a soma destes ângulos com o ângulo α procurado deve ser 180°
\[
\begin{gather}
60°+90°+\alpha=180°\\[5pt]
\alpha=180°-60°-90°\\[5pt]
\alpha=30°
\end{gather}
\]
Desenhando as forças num sistema de eixos coordenados
xy (Figura 5), podemos obter suas
componentes ao longo das direções
x e
y.
Figura 4
Componentes ao longo do eixo-
x
- \( N_{x}=0 \)
- \( T_{x}=T\cos 45° \)
- \( P_{ix}=-P_{{i}}\cos 60° \)
Aplicando a condição de equilíbrio (I)
\[
\begin{gather}
N_{{x}}+T\cos 45°-P_{{i}}\cos 60°=0\\[5pt]
T\cos 45°-P_{{i}}\cos 60°=0 \tag{III}
\end{gather}
\]
Figura 5
Componentes ao longo do eixo-
y
- \( N_{y}=N \)
- \( T_{y}=T\operatorname{sen}45° \)
- \( P_{iy}=-P_{{i}}\operatorname{sen}60° \)
Aplicando a condição de equilíbrio (I)
\[
\begin{gather}
N+T\operatorname{sen}45°-P_{{i}}\operatorname{sen}60°=0 \tag{IV}
\end{gather}
\]
Solução
a) A força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\end{gather}
\]
Lembrando da
Trigonometria
\[ \cos 45°=\operatorname{sen}45°=\frac{\sqrt{2\,}}{2} \]
\[ \cos 60°=\frac{1}{2} \]
\[ \operatorname{sen}60°=\frac{\sqrt{3\,}}{2} \]
As equações (II), (III) e (IV) formam um sistema de três equações a três incógnitas,
N,
T
e
M
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
T-Mg=0\\
\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{2}T-\dfrac{1}{2}mg=0\\
N+\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{2}T-\dfrac{\sqrt{\,3\,}}{2}mg=0 \tag{V}
\end{array}
\right.
\end{gather}
\]
isolando o valor a força de tensão na primeira equação do sistema (V)
\[
\begin{gather}
T=Mg \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo na segunda equação do sistema (V)
\[
\begin{gather}
\frac{\sqrt{\,2\,}}{2}Mg-\frac{1}{2}mg=0\\[5pt]
\frac{\sqrt{\,2\,}}{\cancel{2}}M\cancel{g}=\frac{1}{\cancel{2}}m\cancel{g}\\[5pt]
\sqrt{\,2\,}M=m\\[5pt]
M=\frac{m}{\sqrt{2\,}}
\end{gather}
\]
substituindo o valor de
m dado no problema e
\( \sqrt{2\,}\approx 1,4142 \)
\[
\begin{gather}
M=\frac{200}{1,4142}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{M=141,4\ \text{kg}}
\end{gather}
\]
b) A força exercida sobre o plano
\( F_{p} \)
será dada pelo componente
y da força peso sobre o plano inclinado
\[
\begin{gather}
F_{p}=P_{iy}=-P_{{i}}\operatorname{sen}60°\\[5pt]
F_{p}=-mg\operatorname{sen}60°\\[5pt]
F_{{p}}=-200.9,8.\frac{\sqrt{3\,}}{2}
\end{gather}
\]
sendo
\( \sqrt{3\,}\approx 1,7321 \)
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{F_{{p}}=-1697\ \text{N}}
\end{gather}
\]