Um corpo encontra-se sobre um plano inclinado de um ângulo α com a horizontal. Para movê-lo para cima é necessária uma força paralela à superfície inclinada cuja intensidade mínima é F₁, e para evitar seu deslizamento para baixo é necessária uma força de intensidade mínima F₂, também paralela ao declive. Sendo F₁=2F₂, calcular o coeficiente de atrito entre o corpo e o plano.

Dados do problema:

• Ângulo de inclinação do plano: α;
• Força necessária para fazer o corpo subir: F₁;
• Força necessária para impedir o corpo de descer: F₂.

Esquema do problema:

Consideramos que o corpo ainda não está se movendo, na primeira situação, quando a força F₁ é aplicada, o corpo está na iminência de subir (não confundir iminência com eminência). Devido à força aplicada o corpo atua no plano e o plano reage com a força de atrito de intensidade F_at, como o corpo está prestes a subir a força de atrito tem sentido contrário do movimento, para baixo na direção do plano (Figura 1-A).

Figura 1

Na segunda situação quando a força F₂ é aplicada o corpo está na iminência de descer. Devido à força aplicada atua no plano e o plano reage com a força de atrito de intensidade F_at como o corpo está prestes a descer a força de atrito tem sentido contrário do movimento, para cima na direção do plano (Figura 1-B).

Solução:

Isolamos o corpo e pesquisamos as forças que atuam nele.
Adotamos um sistema de referência com o eixo-x paralelo ao plano e com sentido ascendente e o eixo-y para cima perpendicular ao plano.

Corpo na iminência de subir (Figura 2-A)

• \( {\vec F}_1 \): força aplicada ao corpo;
• \( {\vec F}_{at} \): força de atrito entre o corpo e o plano;
• \( \vec{P} \): força peso;
• \( \vec{N} \): força normal de reação do plano sobre o corpo.

A força peso \( \vec{P} \) pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela \( {\vec P}_{\small P} \) ao eixo-x e a outra normal ou perpendicular \( {\vec P}_{\small N} \). No triângulo à esquerda na Figura 2-B vemos que a força peso é perpendicular ao plano horizontal, forma um ângulo de 90°, o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal é igual á α, o ângulo entre a força peso e a componente paralela será β, como os ângulos internos de um triângulo devem somar 180°

No triângulo à direita temos que a componente normal faz com o plano inclinado um ângulo de 90°, então o ângulo entre a força peso e a componente normal deve medir α, é um ângulo complementar.

Figura 2

Desenhando as forças num sistema de eixos coordenados xy podemos aplicar a condição de equilíbrio

Direção x:

a componente paralela da força peso e a força de atrito são dadas por

onde μ é o coeficiente de atrito entre o bloco e o plano, substituindo estas equações na equação (II)

Direção y:

a componente normal da força peso é dada por

substituindo a equação (VII) na equação (VI)

substituindo a equação (VIII) na equação (V)

Corpo na iminência de descer (Figura 3-A)

• \( {\vec F}_2 \): força aplicada ao corpo;
• \( {\vec F}_{at} \): força de atrito entre o corpo e o plano;
• \( \vec P \): força peso;
• \( \vec N \): força normal de reação do plano sobre o corpo.

A força peso pode ser decomposta da mesma maneira mostrada na Figura 2-B.
Desenhando as forças num sistema de eixos coordenados xy podemos aplicar a condição de equilíbrio (I)

Figura 3

Direção x:

substituindo as equações (III) e (IV) na equação (X)

Direção y:

a componente normal da força peso é dada por

substituindo na equação (XII)

substituindo a equação (XIII) na equação (XI)

Usando a condição dada no problema, \( F_1=2F_2 \), substituímos as equações (IX) e (XIV)