Exercício Resolvido de Centro de Massa
EN
ES
FR
publicidade
Temos a seguinte distribuição de massas discretas no plano-xy: m1 = 2 kg na posição (1, −1), m2 = 3 kg em (0, 2), m3 = 1 kg em (−1,0), m4 = 2 kg em (4, 3) e m5 = 7 kg em (−11, 2). Determinar as coordenadas do centro de massa desta distribuição e represente-a graficamente.
Dados do problema:
| massa (kg) | posição (x, y) | |
|---|---|---|
| 1 | 2 | (1, −1) |
| 2 | 3 | (0, 2) |
| 3 | 1 | (−1, 0) |
| 4 | 2 | (4, 3) |
| 5 | 7 | (−11, 2) |
Esquema do problema:
Solução:
O Centro de Massa é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{{\vec r}_{cm}=\frac{\sum m_i{\vec r}_i}{m_i}}
\end{gather}
\]
escrevendo as componentes
\[
\begin{gather}
x_{cm}=\frac{\sum m_i x_i}{m_i}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
y_{cm}=\frac{\sum m_i y_i}{m_i}
\end{gather}
\]
substituindo os dados
\[
\begin{gather}
x_{cm}=\frac{2\times 1+3\times 0+1\times(-1)+2\times 4+7\times(-11)}{2+3+1+2+7} \\[5pt]
x_{cm}=\frac{2+0-1+8-77}{15} \\[5pt]
x_{cm}=\frac{-68}{15} \\[5pt]
x_{cm}\approx -4,5
\\[10pt]
y_{cm}=\frac{2\times(-1)+3\times 2+1\times 0+2\times 3+7\times 2}{2+3+1+2+7} \\[5pt]
y_{cm}=\frac{-2+6+0+6+14}{15} \\[5pt]
y_{cm}=\frac{24}{15} \\[5pt]
y_{cm}=1,6\
\end{gather}
\]
As coordenadas do centro de massa são
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\left(x_{cm};y_{cm}\;\right)=\left(-4,5;1,6\right)}
\end{gather}
\]
fazendo o gráfico
publicidade