Temos a seguinte distribuição de massas discretas no plano-
xy:
m1 = 2 kg na
posição (1, -1),
m2 = 3 kg em (0, 2),
m3 = 1 kg em (-1,0),
m4 = 2 kg em (4, 3) e
m5 = 7 kg em (-11, 2). Determinar as coordenadas
do centro de massa desta distribuição e represente-a graficamente.
Dados do problema:
|
massa (kg) |
posição (x, y) |
1 |
2 |
(1, -1) |
2 |
3 |
(0, 2) |
3 |
1 |
(-1, 0) |
4 |
2 |
(4, 3) |
5 |
7 |
(-11, 2) |
Tabela 1
Esquema do problema:
Solução
O
Centro de Massa é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{{\vec{r}}_{cm}=\frac{\sum m_{i}{\vec{r}}_{i}}{m_{i}}}
\end{gather}
\]
escrevendo as componentes
\[
\begin{gather}
x_{cm}=\frac{\sum m_{i}x_{i}}{m_{i}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
y_{cm}=\frac{\sum m_{i}y_{i}}{m_{i}}
\end{gather}
\]
substituindo os dados
\[
\begin{gather}
x_{cm}=\frac{2.1+3.0+1.(-1)+2.4+7.(-11)}{2+3+1+2+7}\\[5pt]
x_{cm}=\frac{2+0-1+8-77}{15}\\[5pt]
x_{cm}=\frac{-68}{15}\\[5pt]
x_{cm}\simeq -4,5
\\[10pt]
y_{cm}=\frac{2.(-1)+3.2+1.0+2.3+7.2}{2+3+1+2+7}\\[5pt]
y_{cm}=\frac{-2+6+0+6+14}{15}\\[5pt]
y_{cm}=\frac{24}{15}\\[5pt]
y_{cm}=1,6\
\end{gather}
\]
As coordenadas do centro de massa são
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\left(x_{cm};y_{cm}\;\right)=\left(-4,5;1,6\right)}
\end{gather}
\]
fazendo o gráfico