Exercício Resolvido de Centro de Massa
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Temos a seguinte distribuição de massas discretas no plano-xy: m1 = 2 kg na posição (1, -1), m2 = 3 kg em (0, 2), m3 = 1 kg em (-1,0), m4 = 2 kg em (4, 3) e m5 = 7 kg em (-11, 2). Determinar as coordenadas do centro de massa desta distribuição e represente-a graficamente.


Dados do problema:

massa (kg) posição (x, y)
1 2 (1, -1)
2 3 (0, 2)
3 1 (-1, 0)
4 2 (4, 3)
5 7 (-11, 2)

Tabela 1

Esquema do problema:

Figura 1

Solução

O Centro de Massa é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec{r}}_{cm}=\frac{\sum m_{i}{\vec{r}}_{i}}{m_{i}}} \end{gather} \]
escrevendo as componentes
\[ \begin{gather} x_{cm}=\frac{\sum m_{i}x_{i}}{m_{i}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} y_{cm}=\frac{\sum m_{i}y_{i}}{m_{i}} \end{gather} \]
substituindo os dados
\[ \begin{gather} x_{cm}=\frac{2.1+3.0+1.(-1)+2.4+7.(-11)}{2+3+1+2+7}\\[5pt] x_{cm}=\frac{2+0-1+8-77}{15}\\[5pt] x_{cm}=\frac{-68}{15}\\[5pt] x_{cm}\simeq -4,5 \\[10pt] y_{cm}=\frac{2.(-1)+3.2+1.0+2.3+7.2}{2+3+1+2+7}\\[5pt] y_{cm}=\frac{-2+6+0+6+14}{15}\\[5pt] y_{cm}=\frac{24}{15}\\[5pt] y_{cm}=1,6\ \end{gather} \]
As coordenadas do centro de massa são
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\left(x_{cm};y_{cm}\;\right)=\left(-4,5;1,6\right)} \end{gather} \]
fazendo o gráfico

Figura 2
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