Três cargas elétricas, de 1 μC cada, estão fixas nos vértices de um quadrado de lado 1 m, uma partícula
de carga de 1 μC e massa 1 g é abandonada em repouso no quarto vértice do quadrado, neste momento começa
a sofrer a ação repulsiva das outras cargas. Determinar a aceleração da partícula no momento em que ela é
abandonada.
Dados do problema:
- Valor das cargas: q = 1 μC;
- Massa da carga livre: m = 1 g;
- Distância entre as cargas: L = 1 m;
-
Constante eletrostática do vácuo
\( k_0=9\times 10^9\;\frac{\mathrm{N.m}^2}{\mathrm{C}^2} \).
Esquema do problema:
A força elétrica entre duas cargas está na direção da linha que une estas cargas, então
\( {\vec F}_1 \)
é a força elétrica entre a carga
q e a carga
q1,
\( {\vec F}_2 \)
é a força elétrica entre a carga
q e a carga
q2 e
\( {\vec F}_3 \)
é a força elétrica entre a carga
q e a carga
q3 (Figura 1).
A distância entre as cargas
q e
q2 será a diagonal
d do quadrado,
usando o
Teorema de Pitágoras.
\[
\begin{gather}
d^2=L^2+L^2 \\[5pt]
d^2=1^2+1^2 \\[5pt]
d^2=2 \\[5pt]
d=\sqrt{2\;}\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Solução:
Em primeiro lugar vamos converter a unidade da massa dada em gramas para quilogramas usado no
Sistema Internacional de Unidades (S.I.).
\[
\begin{gather}
m=1\;\cancel{\mathrm g}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\cancel{\mathrm g}}=\frac{1\;\mathrm{kg}}{10^3} =1\times 10^{-3}\;\mathrm{kg}
\end{gather}
\]
Pela
Lei de Coulomb a força elétrica é dada, em módulo, por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{\small E}=k_0\frac{|Q_1||Q_2|}{r^2}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Desenhamos as forças em um sistema de eixos cartesianoss, ao invés de obter suas componentes ao longo
das direções
x e
y. Vamos projetar as forças
\( {\vec F}_1 \)
e
\( {\vec F}_3 \)
na direção de
\( {\vec F}_2 \)
(Figura 2), obtendo os vetores
\( {\vec F}_{1\small P} \)
e
\( {\vec F}_{3\small P} \),
que são coincidentes (isto só é possível devido a simetria do problema, como todas as cargas são iguais
a resultante estará na direção de
\( {\vec F}_2 \)).
Na Figura 2,
\( {\vec F}_1 \)
é a hipotenusa do triângulo e
\( {\vec F}_{1\small P} \)
um cateto, em relação ao ângulo de 45º podemos escrever, em módulo,
\( {\vec F}_{1\small P} \).
Da Trigonometria
\( \cos 45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \)
\[
\begin{gather}
\cos 45°=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{F_{1\small P}}{F_1} \\[5pt]
F_{1\small P}=F_1\cos 45° \\[5pt]
F_{1\small P}=k_0\frac{q\;q_1}{L^2}\cos 45° \\[5pt]
F_{1\small P}=9\times 10^9\times\frac{1\times 10^{-6}\times 1\times 10^{-6}}{{1}^2}\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \\[5pt]
F_{1\small P}=9\times 10^9\times 1\times 10^{-12}\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \\[5pt]
F_{1\small P}=9\times 10^{-3}\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \tag{II}
\end{gather}
\]
Analogamente temos para
\( {\vec F}_{3\small P} \).
\[
\begin{gather}
\cos 45°=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{F_{3\small P}}{F_3} \\[5pt]
F_{3\small P}=F_3\cos 45° \\[5pt]
F_{3\small P}=k_0\frac{q\;q_1}{L^2}\cos 45° \\[5pt]
F_{3\small P}=9\times 10^9\times\frac{1\times 10^{-6}\times 1\times 10^{-6}}{{1}^2}\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \\[5pt]
F_{3\small P}=9\times 10^9\times 1\times 10^{-12}\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \\[5pt]
F_{3P}=9\times 10^{-3}\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \tag{III}
\end{gather}
\]
O módulo da força F2 será
\[
\begin{gather}
F_2=k_0\frac{q\;q_2}{d^2} \\[5pt]
F_2=9\times 10^9\times\frac{1\times 10^{-6}\times 1\times 10^{-6}}{\left(\sqrt{2\;}\right)^2} \\[5pt]
F_2=9\times 10^9\times 1\times 10^{-12}\times\frac{1}{2} \\[5pt]
F_2=\frac{9\times 10^{-3}}{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
O módulo da força elétrica resultante FE será a soma das expressões (II), (III) e (IV).
\[
\begin{gather}
F_{\small E}=F_{1\small P}+F_{3P}+F_2 \\[5pt]
F_{\small E}=9\times 10^{-3}\times\frac{\sqrt{2\;}}{2}+9\times 10^{-3}\times\frac{\sqrt{2\;}}{2}+\frac{9\times 10^{-3}}{2} \\[5pt]
F_{\small E}=9\times 10^{-3}\times\left(\sqrt{2\;}+\sqrt{2\;}+1\right) \\[5pt]
F_{\small E}=9\times 10^{-3}\times\left(2\sqrt{2\;}+1\right) \\[5pt]
F_{\small E}=1,72\times 10^{-2}\;\mathrm N
\end{gather}
\]
Usando a
2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec F=m\vec a}
\end{gather}
\]
a única força atuando na carga é a força elétrica
FE, então a aceleração estará na
mesma direção e sentido da força elétrica resultante.
\[
\begin{gather}
F_{\small E}=ma \\[5pt]
a=\frac{F_{\small E}}{m} \\[5pt]
a=\frac{1,72\times 10^{-2}}{1\times 10^{-3}} \\[5pt]
a=1,72\times 10^{-2}\times 10^3 \\[5pt]
a=1,72\times 10
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=17,2\;\mathrm{m/s}^2}
\end{gather}
\]
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