Exercício Resolvido de Força Elétrica
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Três cargas elétricas, de 1 μC cada, estão fixas nos vértices de um quadrado de lado 1 m, uma partícula de carga de 1 μC e massa 1 g é abandonada em repouso no quarto vértice do quadrado, neste momento começa a sofrer a ação repulsiva das outras cargas. Determinar a aceleração da partícula no momento em que ela é abandonada.


Dados do problema:
  • Valor das cargas:    q = 1 μC;
  • Massa da carga livre:    m = 1 g;
  • Distância entre as cargas:    L = 1 m;
  • Constante eletrostática do vácuo    \( k_{0}=9.10^{9}\;\frac{\mathrm{N.m}^{2}}{\mathrm{C}^{2}} \).
Esquema do problema:

A força elétrica entre duas cargas está na direção da linha que une estas cargas, então \( {\vec{F}}_{1} \) é a força elétrica entre a carga q e a carga q1, \( {\vec{F}}_{2} \) é a força elétrica entre a carga q e a carga q2 e \( {\vec{F}}_{3} \) é a força elétrica entre a carga q e a carga q3 (Figura 1).
A distância entre as cargas q e q2 será a diagonal d do quadrado, usando o Teorema de Pitágoras
\[ \begin{gather} d^{2}=L^{2}+L^{2}\\[5pt] d^{2}=1^{2}+1^{2}\\[5pt] d^{2}=2\\[5pt] d=\sqrt{2\;}\;\mathrm{m} \end{gather} \]
Figura 1

Solução

Em primeiro lugar vamos converter a unidade da massa dada em gramas para quilogramas usado no Sistema Internacional (S.I.).
\[ \begin{gather} m=1\;\cancel{\mathrm{g}}.\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\cancel{\mathrm{g}}}=\frac{1\;\mathrm{kg}}{10^{3}} =1.10^{-3}\;\mathrm{kg} \end{gather} \]
Pela Lei de Coulomb a força elétrica é dada, em módulo, por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{E}=k_{0}\frac{|Q_{1}||Q_{2}|}{r^{2}}} \tag{I} \end{gather} \]
Desenhamos as forças em um sistema de eixos cartesianoss, ao invés de obter suas componentes ao longo das direções x e y. Vamos projetar as forças \( {\vec{F}}_{1} \) e \( {\vec{F}}_{3} \) na direção de \( {\vec{F}}_{2} \) (Figura 2), obtendo os vetores \( {\vec{F}}_{1P} \) e \( {\vec{F}}_{3P} \), que são coincidentes (isto só é possível devido a simetria do problema, como todas as cargas são iguais a resultante estará na direção de \( {\vec{F}}_{2} \)).
Figura 2

Na Figura 2, \( {\vec{F}}_{1} \) é a hipotenusa do triângulo e \( {\vec{F}}_{1P} \) um cateto, em relação ao ângulo de 45º podemos escrever, em módulo, \( {\vec{F}}_{1P} \).

Lembrando da Trigonometria    \( \cos 45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \)
\[ \begin{gather} \cos 45°=\frac{\text{cateto adjacente}}{\mathrm{hipotenusa}}=\frac{F_{1P}}{F_{1}}\\[5pt] F_{1P}=F_{1}\cos 45°\\[5pt] F_{1P}=k_{0}\frac{q\;q_{1}}{L^{2}}\cos 45°\\[5pt] F_{1P}=9.10^{9}.\frac{1.10^{-6}.1.10^{-6}}{{1}^{2}}.\frac{\sqrt{2\;}}{2}\\[5pt] F_{1P}=9.10^{9}.1.10^{-12}.\frac{\sqrt{2\;}}{2}\\[5pt] F_{1P}=9.10^{-3}.\frac{\sqrt{2\;}}{2} \tag{II} \end{gather} \]
Analogamente temos para \( {\vec{F}}_{3P} \)
\[ \begin{gather} \cos 45°=\frac{\text{cateto adjacente}}{\mathrm{hipotenusa}}=\frac{F_{3P}}{F_{3}}\\[5pt] F_{3P}=F_{3}\cos 45°\\[5pt] F_{3P}=k_{0}\frac{q\;q_{1}}{L^{2}}\cos 45°\\[5pt] F_{3P}=9.10^{9}.\frac{1.10^{-6}.1.10^{-6}}{{1}^{2}}.\frac{\sqrt{2\;}}{2}\\[5pt] F_{3P}=9.10^{9}.1.10^{-12}.\frac{\sqrt{2\;}}{2}\\[5pt] F_{3P}=9.10^{-3}.\frac{\sqrt{2\;}}{2} \tag{III} \end{gather} \]
O módulo da força F2 será
\[ \begin{gather} F_{2}=k_{0}\frac{q\;q_{2}}{d^{2}}\\[5pt] F_{2}=9.10^{9}.\frac{1.10^{-6}.1.10^{-6}}{\left(\sqrt{2\;}\right)^{2}}\\[5pt] F_{2}=9.10^{9}.1.10^{-12}.\frac{1}{2}\\[5pt] F_{2}=\frac{9.10^{-3}}{2} \tag{IV} \end{gather} \]
O módulo da força elétrica resultante FE será a soma das expressões (II), (III) e (IV)
\[ \begin{gather} F_{E}=F_{1P}+F_{3P}+F_{2}\\[5pt] F_{E}=9.10^{-3}.\frac{\sqrt{2\;}}{2}+9.10^{-3}.\frac{\sqrt{2\;}}{2}+\frac{9.10^{-3}}{2}\\[5pt] F_{E}=9.10^{-3}.\left(\sqrt{2\;}+\sqrt{2\;}+1\right)\\[5pt] F_{E}=9.10^{-3}.\left(2\sqrt{2\;}+1\right)\\[5pt] F_{E}=1,72.10^{-2}\;\mathrm{N} \end{gather} \]
Usando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \end{gather} \]
a única força atuando na carga é a força elétrica FE, então a aceleração estará na mesma direção e sentido da força elétrica resultante
Figura 3
\[ \begin{gather} F_{E}=ma\\[5pt] a=\frac{F_{E}}{m}\\[5pt] a=\frac{1,72.10^{-2}}{1.10^{-3}}\\[5pt] a=1,72.10^{-2}.10^{3}\\[5pt] a=1,72.10 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=17,2\;\mathrm{m/s}^{2}} \end{gather} \]
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