Três cargas elétricas, de 1 μC cada, estão fixas nos vértices de um quadrado de lado 1 m, uma partícula
de carga de 1 μC e massa 1 g é abandonada em repouso no quarto vértice do quadrado, neste momento começa
a sofrer a ação repulsiva das outras cargas. Determinar a aceleração da partícula no momento em que ela é
abandonada.
Dados do problema:
- Valor das cargas: q = 1 μC;
- Massa da carga livre: m = 1 g;
- Distância entre as cargas: L = 1 m;
- Constante eletrostática do vácuo \( k_{0}=9.10^{9}\;\frac{\mathrm{N.m}^{2}}{\mathrm{C}^{2}} \).
Esquema do problema:
A força elétrica entre duas cargas está na direção da linha que une estas cargas, então
\( {\vec{F}}_{1} \)
é a força elétrica entre a carga
q e a carga
q1,
\( {\vec{F}}_{2} \)
é a força elétrica entre a carga
q e a carga
q2 e
\( {\vec{F}}_{3} \)
é a força elétrica entre a carga
q e a carga
q3 (Figura 1).
A distância entre as cargas
q e
q2 será a diagonal
d do quadrado,
usando o
Teorema de Pitágoras
\[
\begin{gather}
d^{2}=L^{2}+L^{2}\\[5pt]
d^{2}=1^{2}+1^{2}\\[5pt]
d^{2}=2\\[5pt]
d=\sqrt{2\;}\;\mathrm{m}
\end{gather}
\]
Solução
Em primeiro lugar vamos converter a unidade da massa dada em gramas para quilogramas usado no
Sistema Internacional (
S.I.).
\[
\begin{gather}
m=1\;\cancel{\mathrm{g}}.\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\cancel{\mathrm{g}}}=\frac{1\;\mathrm{kg}}{10^{3}} =1.10^{-3}\;\mathrm{kg}
\end{gather}
\]
Pela
Lei de Coulomb a força elétrica é dada, em módulo, por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{E}=k_{0}\frac{|Q_{1}||Q_{2}|}{r^{2}}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Desenhamos as forças em um sistema de eixos cartesianoss, ao invés de obter suas componentes ao longo
das direções
x e
y. Vamos projetar as forças
\( {\vec{F}}_{1} \)
e
\( {\vec{F}}_{3} \)
na direção de
\( {\vec{F}}_{2} \)
(Figura 2), obtendo os vetores
\( {\vec{F}}_{1P} \)
e
\( {\vec{F}}_{3P} \),
que são coincidentes (isto só é possível devido a simetria do problema, como todas as cargas são iguais
a resultante estará na direção de
\( {\vec{F}}_{2} \)).
Na Figura 2,
\( {\vec{F}}_{1} \)
é a hipotenusa do triângulo e
\( {\vec{F}}_{1P} \)
um cateto, em relação ao ângulo de 45º podemos escrever, em módulo,
\( {\vec{F}}_{1P} \).
Lembrando da Trigonometria
\( \cos 45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \)
\[
\begin{gather}
\cos 45°=\frac{\text{cateto adjacente}}{\mathrm{hipotenusa}}=\frac{F_{1P}}{F_{1}}\\[5pt]
F_{1P}=F_{1}\cos 45°\\[5pt]
F_{1P}=k_{0}\frac{q\;q_{1}}{L^{2}}\cos 45°\\[5pt]
F_{1P}=9.10^{9}.\frac{1.10^{-6}.1.10^{-6}}{{1}^{2}}.\frac{\sqrt{2\;}}{2}\\[5pt]
F_{1P}=9.10^{9}.1.10^{-12}.\frac{\sqrt{2\;}}{2}\\[5pt]
F_{1P}=9.10^{-3}.\frac{\sqrt{2\;}}{2} \tag{II}
\end{gather}
\]
Analogamente temos para
\( {\vec{F}}_{3P} \)
\[
\begin{gather}
\cos 45°=\frac{\text{cateto adjacente}}{\mathrm{hipotenusa}}=\frac{F_{3P}}{F_{3}}\\[5pt]
F_{3P}=F_{3}\cos 45°\\[5pt]
F_{3P}=k_{0}\frac{q\;q_{1}}{L^{2}}\cos 45°\\[5pt]
F_{3P}=9.10^{9}.\frac{1.10^{-6}.1.10^{-6}}{{1}^{2}}.\frac{\sqrt{2\;}}{2}\\[5pt]
F_{3P}=9.10^{9}.1.10^{-12}.\frac{\sqrt{2\;}}{2}\\[5pt]
F_{3P}=9.10^{-3}.\frac{\sqrt{2\;}}{2} \tag{III}
\end{gather}
\]
O módulo da força
F2 será
\[
\begin{gather}
F_{2}=k_{0}\frac{q\;q_{2}}{d^{2}}\\[5pt]
F_{2}=9.10^{9}.\frac{1.10^{-6}.1.10^{-6}}{\left(\sqrt{2\;}\right)^{2}}\\[5pt]
F_{2}=9.10^{9}.1.10^{-12}.\frac{1}{2}\\[5pt]
F_{2}=\frac{9.10^{-3}}{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
O módulo da força elétrica resultante
FE será a soma das expressões (II), (III) e (IV)
\[
\begin{gather}
F_{E}=F_{1P}+F_{3P}+F_{2}\\[5pt]
F_{E}=9.10^{-3}.\frac{\sqrt{2\;}}{2}+9.10^{-3}.\frac{\sqrt{2\;}}{2}+\frac{9.10^{-3}}{2}\\[5pt]
F_{E}=9.10^{-3}.\left(\sqrt{2\;}+\sqrt{2\;}+1\right)\\[5pt]
F_{E}=9.10^{-3}.\left(2\sqrt{2\;}+1\right)\\[5pt]
F_{E}=1,72.10^{-2}\;\mathrm{N}
\end{gather}
\]
Usando a
2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec{F}=m\vec{a}}
\end{gather}
\]
a única força atuando na carga é a força elétrica
FE, então a aceleração estará na
mesma direção e sentido da força elétrica resultante
\[
\begin{gather}
F_{E}=ma\\[5pt]
a=\frac{F_{E}}{m}\\[5pt]
a=\frac{1,72.10^{-2}}{1.10^{-3}}\\[5pt]
a=1,72.10^{-2}.10^{3}\\[5pt]
a=1,72.10
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=17,2\;\mathrm{m/s}^{2}}
\end{gather}
\]