Duas esferas idênticas, A e B, estão fixas sobre uma lâmina de vidro plana e horizontal a
uma distância d uma da outra. A esfera A encontra-se inicialmente neutra e B
eletrizada. Uma terceira esfera C, idêntica às duas primeiras e inicialmente neutra, é posta em
contato com B e em seguida com A. Pergunta-se a que distância x da esfera A,
sobre a reta AB, é necessário colocar a esfera C para que permaneça em equilíbrio.
Dados do problema:
- Carga da esfera A: Qa = 0;
- Carga da esfera B: Qb = Q;
- Carga da esfera C: Qc = 0;
- Distância entre as esferas A e B: d.
Solução:
Adotamos Q para a carga inicial da esfera B, e um sistema de referência com origem em
A e orientado para a B. A esfera B está a uma distância d da esfera A
(Figura 1). Em primeiro lugar calcular a carga que as outras esferas vão adquirir por contato.
Colocamos as esferas
B e
C em contato, a carga de
B se distribuirá igualmente
pelas duas esferas (Figura 2).
\[
\begin{gather}
Q_b=Q_c=\frac{Q_b+Q_c}{2}=\frac{Q+0}{2}=\frac{Q}{2}
\end{gather}
\]
Agora a esfera C, com carga igual a
\( \frac{Q}{2} \),
é colocada em contato com a esfera A de carga nula, a carga de C se distribuirá
pelas duas esferas (Figura 3).
\[
\begin{gather}
Q_a=Q_c=\frac{Q_a+Q_c}{2}=\frac{0+\dfrac{Q}{2}}{2}=\frac{Q}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{Q}{4}
\end{gather}
\]
Na situação final as esferas A e C possuem cargas
\( Q_a=Q_c=\frac{Q}{4} \),
e a esfera B carga
\( Q_b=\frac{Q}{2} \).
A esfera C deverá ser colocada num ponto x entre A e B de modo a
permanecer em equilíbrio (Figura 4).
Para que ela fique em equilíbrio, a força que atua entre as esferas
A e
C deve ser igual a
força que atua entre
B e
C, para que a resultante das forças seja igual à zero (Figura 5).
\[
\begin{gather}
{\vec F}_{ac}={\vec F}_{bc} \tag{I}
\end{gather}
\]
Pela
Lei de Coulomb a força elétrica é dada, em módulo, por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{\small E}=k_0\frac{|Q_1||Q_2|}{r^2}} \tag{II}
\end{gather}
\]
Aplicando a equação (II) para as esferas A e C.
\[
\begin{gather}
F_{ac}=k_0\frac{Q_aQ_c}{x^2} \\[5pt]
F_{ac}=k_0\frac{\dfrac{Q}{4}\dfrac{Q}{4}}{x^2} \\[5pt]
F_{ac}=k_0\frac{Q^2}{16x^2} \tag{III}
\end{gather}
\]
Para as esferas B e C a distância entre elas será r = (d − x),
substituindo os dados em (II) para essa situação
\[
\begin{gather}
F_{bc}=k_0\frac{Q_bQ_c}{(d-x)^2} \\[5pt]
F_{bc}=k_0\frac{\dfrac{Q}{2}\dfrac{Q}{4}}{(d-x)^2} \\[5pt]
F_{bc}=k_0\frac{Q^2}{8(d-x)^2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Aplicando a condição (I) às expressões (III) e (IV).
\[
\begin{gather}
\cancel{k_0}\frac{\cancel{Q^2}}{\cancelto{2}{16}x^2}=\cancel{k_0}\frac{\cancel{Q^2}}{\cancel{8}(d-x)^2} \\[5pt]
\frac{1}{2x^2}=\frac{1}{(d-x)^2} \\[5pt]
(d-x)^2=2x^2 \\[5pt]
d^2-2dx+x^2=2x^2 \\[5pt]
2x^2-x^2+2dx-d^2=0 \\[5pt]
x^2+2dx-d^2=0
\end{gather}
\]
Esta é uma Equação do 2.º Grau em x.
Solução da
Equação do 2.º Grau
\( x^2+2dx-d^2=0 \)
\[
\begin{gather}
\Delta=b^2-4ac=\left(2d\right)^2-4\times 1\times(-d^2)=4d^2+4d^2=8d^2 \\[10pt]
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2d\pm \sqrt{8d^2}}{2\times 1}=\frac{-2d\pm2d\sqrt{2\;}}{2}
\end{gather}
\]
as duas raízes da equação serão
\[
\begin{gather}
x_1=d(\sqrt{2\;}-1) \\[5pt]
\qquad \text e \\[5pt]
x_2=-d(\sqrt{2\;}-1)
\end{gather}
\]
A distância d é maior que zero, o termo entre parênteses,
\( (\sqrt{2 \;}-1)\approx 0,4142 \),
é maior que zero. Assim a primeira raiz vale aproximadamente 0,41d, portanto está entre as
esferas A e B como pede o enunciado; a segunda raiz possui um sinal negativo, portanto está
à esquerda da esfera A, do lado negativo do referencial (Figura 1) e pode ser desprezada.
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x_1=d(\sqrt{2\;}-1)}
\end{gather}
\]
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