Exercício Resolvido de Força Elétrica

Duas esferas idênticas, A e B, estão fixas sobre uma lâmina de vidro plana e horizontal a uma distância d uma da outra. A esfera A encontra-se inicialmente neutra e B eletrizada. Uma terceira esfera C, idêntica às duas primeiras e inicialmente neutra, é posta em contato com B e em seguida com A. Pergunta-se a que distância x da esfera A, sobre a reta AB, é necessário colocar a esfera C para que permaneça em equilíbrio.

Dados do problema:

Carga da esfera A: Q_A = 0;
Carga da esfera B: Q_B = Q;
Carga da esfera C: Q_C = 0;
Distância entre as esferas A e B: d.

Solução

Adotamos Q para a carga inicial da esfera B, e um sistema de referência com origem em A e orientado para a B. A esfera B está a uma distância d da esfera A (Figura 1). Em primeiro lugar calcular a carga que as outras esferas vão adquirir por contato.

Figura 1

Colocamos as esferas B e C em contato, a carga de B se distribuirá igualmente pelas duas esferas (Figura 2)

\[ \begin{gather} Q_{B}=Q_{C}=\frac{Q_{B}+Q_{C}}{2}=\frac{Q+0}{2}=\frac{Q}{2} \end{gather} \]

Figura 2

Agora a esfera C, com carga igual a \( \frac{Q}{2} \), é colocada em contato com a esfera A de carga nula, a carga de C se distribuirá pelas duas esferas (Figura 3).

Figura 3

\[ \begin{gather} Q_{A}=Q_{C}=\frac{Q_{A}+Q_{C}}{2}=\frac{0+\dfrac{Q}{2}}{2}=\frac{Q}{2}.\frac{1}{2}=\frac{Q}{4} \end{gather} \]

Na situação final as esferas A e C possuem cargas \( Q_{A}=Q_{C}=\frac{Q}{4} \), e a esfera B carga \( Q_{B}=\frac{Q}{2} \). A esfera C deverá ser colocada num ponto x entre A e B de modo a permanecer em equilíbrio (Figura 4).

Figura 4

Para que ela fique em equilíbrio, a força que atua entre as esferas A e C deve ser igual a força que atua entre B e C, para que a resultante das forças seja igual à zero (Figura 5)

\[ \begin{gather} {\vec{F}}_{AC}={\vec{F}}_{BC} \tag{I} \end{gather} \]

Pela Lei de Coulomb a força elétrica é dada, em módulo, por

Figura 5

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{E}=k_{0}\frac{|Q_{1}||Q_{2}|}{r^{2}}} \tag{II} \end{gather} \]

Aplicando a expressão (II) para as esferas A e C

\[ \begin{gather} F_{AC}=k_{0}\frac{Q_{A}Q_{C}}{x^{2}}\\[5pt] F_{AC}=k_{0}\frac{\dfrac{Q}{4}\dfrac{Q}{4}}{x^{2}}\\[5pt] F_{AC}=k_{0}\frac{Q^{2}}{16x^{2}} \tag{III} \end{gather} \]

Para as esferas B e C a distância entre elas será r = (d − x), substituindo os dados em (II) para essa situação

\[ \begin{gather} F_{BC}=k_{0}\frac{Q_{B}Q_{C}}{(d-x)^{2}}\\[5pt] F_{BC}=k_{0}\frac{\dfrac{Q}{2}\dfrac{Q}{4}}{(d-x)^{2}}\\[5pt] F_{BC}=k_{0}\frac{Q^{2}}{8(d-x)^{2}} \tag{IV} \end{gather} \]

Aplicando a condição (I) às expressões (III) e (IV)

\[ \begin{gather} \cancel{k_{0}}\frac{\cancel{Q^{2}}}{\cancelto{2}{16}x^{2}}=\cancel{k_{0}}\frac{\cancel{Q^{2}}}{\cancel{8}(d-x)^{2}}\\[5pt] \frac{1}{2x^{2}}=\frac{1}{(d-x)^{2}}\\[5pt] (d-x)^{2}=2x^{2}\\[5pt] d^{2}-2dx+x^{2}=2x^{2}\\[5pt] 2x^{2}-x^{2}+2dx-d^{2}=0\\[5pt] x^{2}+2dx-d^{2}=0 \end{gather} \]

Esta é uma Equação do 2.º Grau em x.

Solução da Equação do 2.º Grau \( x^{2}+2dx-d^{2}=0 \)

\[ \begin{gather} \Delta =b^{2}-4ac=\left(2d\right)^{2}-4.1.(-d^{2})=4d^{2}+4d^{2}=8d^{2}\\[10pt] x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2d\pm \sqrt{8d^{2}}}{2.1}=\frac{-2d\pm2d\sqrt{2\;}}{2} \end{gather} \]

as duas raízes da equação serão

\[ \begin{gather} x_{1}=d(\sqrt{2\;}-1)\\ \qquad \mathrm{e}\\ x_{2}=-d(\sqrt{2\;}-1) \end{gather} \]

A distância d é maior que zero, o termo entre parênteses, \( (\sqrt{2 \;}-1)\approx 0,4142 \), é maior que zero. Assim a primeira raiz vale aproximadamente 0,41d, portanto está entre as esferas A e B como pede o enunciado; a segunda raiz possui um sinal negativo, portanto está à esquerda da esfera A, do lado negativo do referencial (Figura 1) e pode ser desprezada.

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {x_{1}=d(\sqrt{2 \;}-1)} \end{gather} \]

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