Uma locomotiva elétrica de 100 toneladas é impulsionada por quatro motores elétricos alimentados com
uma tensão de 1000 volts e se move a uma velocidade de 72 km/h. Adotando-se o coeficiente de atrito
entre as rodas da locomotiva e os trilhos como sendo igual a 0,5 e a aceleração da gravidade
g = 10 m/s2, determinar:
a) A corrente elétrica que circula em cada motor;
b) Se em cada motor circular uma corrente de 4000 amperes quantos vagões, de 15 toneladas cada, a
locomotiva será capaz de puxar?
Dados do problema:
- Massa da locomotiva: M = 100 t;
- Massa dos vagões: MV = 15 t;
- Velocidade da locomotiva: v = 72 km/h;
- Coeficiente de atrito: μ = 0,5;
- Tensão da rede: U = 1000 V;
- Aceleração da gravidade: g = 10 m/s2.
Esquema do problema:
Solução:
Em primeiro lugar devemos converter a unidade de massa dada em toneladas (t) para quilogramas (kg),
e a velocidade dada em quilômetros por hora (km/h) para metros por segundo (m/s) usadas no
Sistema Internacional de Unidades (S.I.).
\[
\begin{gather}
M=100\;\cancel{\mathrm t}\times\frac{1000\;\mathrm{kg}}{1\;\cancel{\mathrm t}}=100\times 1000\;\mathrm{kg}=100000\;\mathrm{kg} \\[10pt]
M_{\small V}=15\;\cancel{\mathrm t}\times\frac{1000\;\mathrm{kg}}{1\;\cancel{\mathrm t}}=15\times 1000\;\mathrm{kg}=15000\;\mathrm{kg} \\[10pt]
v=\frac{72\;\cancel{\mathrm{km}}}{1\;\cancel{\mathrm h}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\cancel{\mathrm{km}}}\times\frac{1\;\cancel{\mathrm h}}{3600\;\mathrm s}=\frac{720\;\mathrm m}{36\;\mathrm s}=20\;\mathrm{m/s}
\end{gather}
\]
a) A potência gerada por um dos motores será dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathscr P=Ui} \tag{I}
\end{gather}
\]
A potência total gerada pelos quatro motores, será
\[
\begin{gather}
\mathscr P_{\small T}=4\mathscr P \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (I) na equação (II)
\[
\begin{gather}
\mathscr P_{\small T}=4Ui \tag{III}
\end{gather}
\]
Da Mecânica Clássica temos a potência total necessária para fazer a locomotiva se mover
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathscr P_{\small T}=Fv} \tag{IV}
\end{gather}
\]
igualando as expressões (III) e (IV)
\[
\begin{gather}
4Ui=Fv \tag{V}
\end{gather}
\]
Para fazer a locomotiva andar os motores devem superar a força de atrito. Pela Figura 1, as
rodas do trem empurram os trilhos para trás com a força
\( \vec{F} \),
os trilhos reagem nas rodas com a força de atrito
\( {\vec{F}}_{at} \)
para frente fazendo o trem andar (
3.ª Lei de Newton)
\[
\begin{gather}
F=F_{at}=\mu N \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VI) na equação (V)
\[
\begin{gather}
4Ui=\mu Nv \tag{VII}
\end{gather}
\]
A força normal
\( \vec{N} \)
e a força peso
\( \vec{P} \)
da locomotiva se cancelam (Figura 2)
\[
\begin{gather}
N=P \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VIII) na equação (VII)
\[
\begin{gather}
4Ui=\mu Pv \tag{IX}
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=Mg} \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (X) na equação (IX)
\[
\begin{gather}
4Ui=\mu Mgv \\[5pt]
i=\frac{\mu Mgv}{4U} \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo os valores dados no problema
\[
\begin{gather}
i=\frac{0,5\times 100000\times 10\times 20}{4\times 1000} \\[5pt]
i=\frac{10000000}{4000}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{i=2500\;\mathrm{A}}
\end{gather}
\]
b) Aplicando a equação (XI) para a corrente e usando os dados deste item, temos a massa total
MT que pode ser impulsionada pelos motores
\[
\begin{gather}
M_{\small T}=\frac{4Ui}{\mu gv} \\[5pt]
M_{\small T}=\frac{5\times 1000\times 4000}{0,5\times 10\times 20} \\[5pt]
M_{\small T}=\frac{16000000}{100} \\[5pt]
M_{\small T}=160000\;\mathrm{kg}
\end{gather}
\]
Desta massa total, temos que 100 000 kg representam a massa da própria locomotiva, então sobra para os
vagões
\( 1600000-100000=60000\;\mathrm{kg} \),
\[
\begin{gather}
1600000-100000=60000\;\mathrm{kg,}
\end{gather}
\]
como cada vagão tem uma massa de 15000 kg, o número de vagões será
\[
\begin{gather}
n=\frac{60000\;\cancel{\mathrm{kg}}}{15000\frac{\cancel{\mathrm{kg}}}{\text{vagão}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{n=4\;\text{vagões}}
\end{gather}
\]
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