Exercício Resolvido de Campo Magnético
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Duas espiras circulares E1 e E2, concêntricas e coplanares de raios R1=10π cm e R2=2,5π cm são percorridas pelas correntes i1 e i2, indicadas na figura. Sendo i1 = 10 A e \( \mu_{0}=4\pi .10^{-7}\;\frac{\text{T.m}}{\text{A}} \).
a) Calcule o vetor campo magnético originado pela corrente i1 no centro O;
b) Determine o valor de i2 para que o vetor campo magnético resultante no centro seja nulo.


Dados do problema:
  • Raio da espira 1:    R1 = 10 π cm;
  • Corrente na espira 1:    i1 = 10 A;
  • Raio da espira 2:    R2 = 2,5 π cm;
  • Permeabilidade magnética do vácuo:    \( \mu_{0}=4\pi .10^{-7}\;\frac{\text{T.m}}{\text{A}} \).
Solução

Em primeiro lugar devemos converter as unidades dos raios das espiras, dadas em centímetros (cm), para metros (m)) usados no Sistema Internacional (S.I.).
\[ \begin{gather} R_{1}=10\pi\;\cancel{\text{cm}}.\frac{1\;\text{m}}{100\;\cancel{\text{cm}}}=0,1\pi\;\text{m}=10^{-1}\pi \;\text{m}\\[10pt] R_{2}=2,5\pi\;\cancel{\text{cm}}.\frac{1\;\text{m}}{100\;\cancel{\text{cm}}}=0,025\pi \;\text{m}=2,5\pi.10^{-2}\;\text{m} \end{gather} \]
a) O campo gerado pela corrente i1 no centro da espira E1 pode ser obtido pela aplicação da regra da mão direita. Colocando-se o dedo polegar na direção da corrente i1 os demais dedos irão indicar a direção do campo, que neste caso será perpendicular ao plano da espiral e com sentido para “dentro” da folha (Figura 1).
O módulo do campo magnético B é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {B=\frac{\mu_{0}}{2}\frac{i}{r}} \tag{I} \end{gather} \]
Figura 1

Para o campo magnético B1, aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} B_{1}=\frac{\mu_{0}}{2}\frac{i_{1}}{r_{1}}\\ B_{1}=\frac{4\pi .10^{-7}}{2}.\frac{10}{10^{-1}\pi}\\ B_{1}=2.10^{-7}.10.10\\ B_{1}=2.10^{-5}\;\text{T} \tag{II} \end{gather} \]
assim o campo magnético no centro da espira pode ser caracterizado por

Intensidade: B1 = 2.10−5 T ;
Direção: perpendicular ao plano da espira ;
Sentido: para “dentro” da folha.

b) Aplicando a regra da mão direita a espira E2, com o dedo polegar no sentido da corrente os demais dedos indicam que o campo magnético terá a direção perpendicular ao plano da espira e sentido para “fora” da folha (Figura 2).
Figura 2

Para o campo magnético B2
\[ \begin{gather} B_{2}=\frac{\mu_{0}}{2}\frac{i_{2}}{r_{2}}\\ B_{2}=\frac{4\pi .10^{-7}}{2}.\frac{i_{2}}{2,5\pi.10^{-2}}\\ B_{2}=0,8.10^{-7}.10^{2}\,i_{2}\\ B_{2}=0,8.10^{-5}\,i_{2} \tag{III} \end{gather} \]
Um esquema em perspectiva (Figura 3) mostra que os vetores do campo magnético, B1 e B2, possuem mesma direção e sentidos opostos, para que os campos se anulem no centro devemos impor a condição que suas intensidades sejam iguais
\[ B_{1}=B_{2} \]
igualando as expressões (II) e (III)
\[ \begin{gather} 2.10^{-5}=0,8.10^{-5}\,i_{2}\\ i_{2}=\frac{2.10^{-5}}{0,8.10^{-5}} \end{gather} \]

Figura 3
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {i_{2}=2,5\;\text{A}} \]
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