Exercício Resolvido de Campo Elétrico
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Considere duas cargas iguais de mesmo sinal separadas por uma distância 2d. Calcule o módulo do campo elétrico nos pontos ao longo da mediatriz da reta que une as duas cargas. Verifique a solução para pontos muito afastados do centro das cargas.


Construção do vetor campo elétrico resultante

Sobre a mediatriz da reta que liga as cargas escolhemos um ponto P qualquer onde queremos calcular o campo elétrico. Na direção do segmento de reta que liga uma das carga +q ao ponto P desenhamos o vetor \( {\vec E}_{1} \) apontando para “fora” da carga, q>0 (Figura 1).
Figura 1

Na direção do segmento de reta que liga a outra carga +q ao ponto P desenhamos o vetor \( {\vec E}_{2} \) apontando para “fora” da carga, q>0 (Figura 2).
Figura 2

Traçamos pela extremidade do vetor \( {\vec E}_{1} \) uma reta paralela ao vetor \( {\vec E}_{2} \) (Figura 3).
Figura 3

Traçamos pela extremidade do vetor \( {\vec E}_{2} \) uma reta paralela ao vetor \( {\vec E}_{1} \) (Figura 4).
Figura 4

Do ponto P à intersecção das retas temos o vetor resultante \( \vec{E} \), sendo θ o ângulo entre os vetor campo elétrico \( {\vec E}_{2} \) (ou o vetor \( {\vec E}_{1} \) ) com uma reta auxiliar vertical paralela a reta que liga as duas cargas. O ângulo θ que os vetores campo elétrico, \( {\vec E}_{1} \) e \( {\vec E}_{2} \), fazem com a reta auxiliar é o mesmo ângulo que o segmento r faz com o segmento vertical d (Figura 5).
Figura 5

Observação 1: Este sistema não representa um dipolo elétrico, um dipolo é formado por cargas de mesmo valor e sinais opostos, neste caso temos cargas de mesmo sinal.

Observação 2: Ao invés de usarmos o ângulo θ entre o segmento r e o segmento vertical d entre as duas cargas, poderíamos usar o ângulo entre o segmento r e o segmento x (Figura 6). A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°
\[ \begin{gather} 180°=90°+\theta+\alpha\\[5pt] \alpha=90°\theta \end{gather} \]
Figura 6

Solução

O módulo do campo elétrico de cada carga é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E=k_{0}\frac{q}{r^{2}}} \tag{I} \end{gather} \]
O campo elétrico resultante será dado por
\[ \begin{gather} \vec{E}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2} \end{gather} \]
como as cargas têm o mesmo valor, em módulo \( E_{1}=E_{2} \)
\[ \begin{gather} E=E_{1}\operatorname{sen}\theta+E_{2}\operatorname{sen}\theta\\[5pt] E=2E_{1}\operatorname{sen}\theta \tag{II} \end{gather} \]

Observação: Usando o cos 90°−θ obtido acima, o campo elétrico será
\[ \begin{gather} E=2E_{1}\;\cos (90°-\theta) \end{gather} \]
o cosseno da diferença de arcos é dado por
\[ \begin{gather} \cos (a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b \\[10pt] \cos (90°-\theta)=\underbrace{\cos90°}_{0}\cos\theta+\underbrace{\operatorname{sen}90°}_{1}\operatorname{sen}\theta\\[5pt] \cos(90°-\theta)=\operatorname{sen}\theta \end{gather} \]

O seno de θ é obtido de r e x
\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\theta=\frac{x}{r} \tag{III} \end{gather} \]
o segmento r é obtido usando o Teorema de Pitágoras
\[ \begin{gather} r^{2}=d^{2}+x^{2}\\[5pt] r=\sqrt{d^{2}+x^{2}\;} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a equação (IV) na equação (III)
\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\theta=\frac{x}{\sqrt{d^{2}+x^{2}\;}} \tag{V} \end{gather} \]
Substituindo as equações (I) e (V) na equação (II)
\[ \begin{gather} E=2k_{0}\frac{q}{\left(\sqrt{d^{2}+x^{2}\;}\right)^{2}}\frac{x}{\sqrt{d^{2}+x^{2}\;}}\\[5pt] E=2k_{0}\frac{q}{\left(d^{2}+x^{2}\right)}\frac{x}{\left(d^{2}+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E=\frac{2k_{0}qx}{\left(d^{2}+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}} \end{gather} \]
Para pontos muito afastados do centro do dipolo temos, x≫d, podemos desprezar o termo em d2 no denominador e a solução será
\[ \begin{gather} E=\frac{2k_{0}qx}{x^{{\cancel{2}}\times{\frac{3}{\cancel{2}}}}} \\[5pt] E=\frac{2k_{0}q\cancel{x}}{x^{\cancelto{2}{3}}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E=\frac{2k_{0}q}{x^{2}}} \end{gather} \]
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