Exercício Resolvido de Campo Elétrico
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Duas cargas puntiformes, de 5.10−6 C e 3.10−6 C, ocupam dois vértices de um triângulo equilátero de 1,2 m de lado. Calcular a intensidade do campo elétrico no terceiro vértice, supondo que o meio seja o vácuo.


Dados do problema:
  • Carga 1:    q1 = 5.10−6 C;
  • Carga 2:    q2 = 3.10−6;
  • Distância entre as cargas:    d = 1,2 m;
  • Constante eletrostática do vácuo:    \( k_{0}=9.10^{9}\;\frac{\text{N.m}^{2}}{\text{C}^{2}} \).
Construção do vetor campo elétrico resultante

As cargas q1 e q2 estão situadas nos vértices A e B do triângulo. Considerando, a carga q1 de maior valor 5.10−6 C, traçamos no ponto C o vetor \( {\vec{E}}_{1} \), na direção do segmento \( \overline{AC} \), com sentido apontando para “fora” da carga, q > 0, a carga de maior valor gera um campo mais intenso (Figura 1).
Figura 1

No ponto C traçamos o vetor \( {\vec{E}}_{2} \), na direção do segmento \( \overline{BC} \), com sentido para “fora” e de tamanho menor, a carga q2 é de valor menor, 3.10−6 C, e gera um campo menos intenso (Figura 2).
Figura 2

Traçamos pela extremidade do vetor \( {\vec{E}}_{2} \) uma reta paralela ao vetor \( {\vec{E}}_{1} \) (Figura 3).
Figura 3

Traçamos pela extremidade do vetor \( {\vec{E}}_{1} \) uma reta paralela ao vetor \( {\vec{E}}_{2} \) (Figura 4).
Figura 4

Do vértice C à intersecção das retas temos o vetor resultante \( \vec{E} \), sendo α o ângulo entre os vetores campo elétrico \( {\vec{E}}_{1} \) e \( {\vec{E}}_{2} \). Como o triângulo é equilátero, todos os seus ângulos internos são iguais a β = 60°, assim como os ângulos α e β são opostos pelo vértice o ângulo α também vale 60° (Figura 5).
Figura 5

Solução

O campo elétrico resultante é dado por
\[ \vec{E}={\vec{E}}_{1}+{\vec{E}}_{2} \]
em módulo pode ser calculado usando a Lei dos Cossenos
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E^{2}=E_{1}^{2}+E_{3}^{2}+2E_{1}E_{2}\cos \alpha} \tag{I} \end{gather} \]
O módulo do campo elétrico de cada carga é calculado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {E=k_{0}\frac{q}{r^{2}}} \]
\[ \begin{gather} E_{1}=k_{0}\frac{q_{1}}{r_{1}^{2}}\\ E_{1}=9.10^{9}.\frac{5.10^{-6}}{(1,2)^{2}}\\ E_{1}=\frac{4,5.10^{4}}{1,44}\\E_{1}\simeq 3,1.10^{4}\;\frac{\text{N}}{\text{C}} \tag{II} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} E_{2}=k_{0}\frac{q_{2}}{r_{2}^{2}}\\ E_{2}=9.10^{9}.\frac{3.10^{-6}}{(1,2)^{2}}\\ E_{2}=\frac{2,7.10^{4}}{1,44}\\E_{2}\simeq 1,9.10^{4}\;\frac{\text{N}}{\text{C}} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo as expressões (II) e (III) na expressão (I)
\[ \begin{gather} E^{2}=(3,1.10^{4})^{2}+(1,9.10^{4})^{2}+2.3,1.10^{4}.1,9.10^{4}\cos60°\\ E^{2}=9,6.10^{8}+3,6.10^{8}+\cancel{2}.5,9.10^{8}.\frac{1}{\cancel{2}}\\ E^{2}=(9,6+3,6+5,9).10^{8}\\ E^{2}=19,1.10^{8}\\ E=\sqrt{19,1.10^{8}\;} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {E\simeq 4,4.10^{4}\;\frac{\text{N}}{\text{C}}} \]
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