Duas cargas puntiformes, de 5.10
−6 C e 3.10
−6 C, ocupam dois vértices de um
triângulo equilátero de 1,2 m de lado. Calcular a intensidade do campo elétrico no terceiro vértice, supondo que
o meio seja o vácuo.
Dados do problema:
- Carga 1: q1 = 5.10−6 C;
- Carga 2: q2 = 3.10−6;
- Distância entre as cargas: d = 1,2 m;
- Constante eletrostática do vácuo: \( k_{0}=9.10^{9}\;\frac{\text{N.m}^{2}}{\text{C}^{2}} \).
Construção do vetor campo elétrico resultante
As cargas q1 e q2 estão situadas nos vértices A e
B do triângulo. Considerando, a carga q1 de maior valor
5.10−6 C, traçamos no ponto C o vetor
\( {\vec{E}}_{1} \),
na direção do segmento
\( \overline{AC} \),
com sentido apontando para “fora” da carga, q > 0, a carga de maior valor gera um
campo mais intenso (Figura 1).
Figura 1
No ponto C traçamos o vetor
\( {\vec{E}}_{2} \),
na direção do segmento
\( \overline{BC} \),
com sentido para “fora” e de tamanho menor, a carga q2 é de valor menor,
3.10−6 C, e gera um campo menos intenso (Figura 2).
Figura 2
Traçamos pela extremidade do vetor
\( {\vec{E}}_{2} \)
uma reta paralela ao vetor
\( {\vec{E}}_{1} \)
(Figura 3).
Traçamos pela extremidade do vetor
\( {\vec{E}}_{1} \)
uma reta paralela ao vetor
\( {\vec{E}}_{2} \)
(Figura 4).
Do vértice C à intersecção das retas temos o vetor resultante
\( \vec{E} \),
sendo α o ângulo entre os vetores campo elétrico
\( {\vec{E}}_{1} \)
e
\( {\vec{E}}_{2} \).
Como o triângulo é equilátero, todos os seus ângulos internos são iguais a β = 60°, assim como os ângulos
α e β são opostos pelo vértice o ângulo α também vale 60° (Figura 5).
Solução
O campo elétrico resultante é dado por
\[
\vec{E}={\vec{E}}_{1}+{\vec{E}}_{2}
\]
em módulo pode ser calculado usando a
Lei dos Cossenos
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E^{2}=E_{1}^{2}+E_{3}^{2}+2E_{1}E_{2}\cos \alpha} \tag{I}
\end{gather}
\]
O módulo do campo elétrico de cada carga é calculado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{E=k_{0}\frac{q}{r^{2}}}
\]
\[
\begin{gather}
E_{1}=k_{0}\frac{q_{1}}{r_{1}^{2}}\\
E_{1}=9.10^{9}.\frac{5.10^{-6}}{(1,2)^{2}}\\
E_{1}=\frac{4,5.10^{4}}{1,44}\\E_{1}\simeq
3,1.10^{4}\;\frac{\text{N}}{\text{C}} \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E_{2}=k_{0}\frac{q_{2}}{r_{2}^{2}}\\
E_{2}=9.10^{9}.\frac{3.10^{-6}}{(1,2)^{2}}\\
E_{2}=\frac{2,7.10^{4}}{1,44}\\E_{2}\simeq
1,9.10^{4}\;\frac{\text{N}}{\text{C}} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (II) e (III) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
E^{2}=(3,1.10^{4})^{2}+(1,9.10^{4})^{2}+2.3,1.10^{4}.1,9.10^{4}\cos60°\\
E^{2}=9,6.10^{8}+3,6.10^{8}+\cancel{2}.5,9.10^{8}.\frac{1}{\cancel{2}}\\
E^{2}=(9,6+3,6+5,9).10^{8}\\
E^{2}=19,1.10^{8}\\
E=\sqrt{19,1.10^{8}\;}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{E\simeq 4,4.10^{4}\;\frac{\text{N}}{\text{C}}}
\]