Gelöste Übung zur Dynamik
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Zwei Blöcke mit den Massen ma = 0,35 kg und mb = 1,15 kg befinden sich auf einer vollkommen glatten, horizontalen Oberfläche. Die Blöcke sind durch ein ideales Seil verbunden. Eine horizontale Kraft mit konstanter Stärke von 15 N wird angelegt, um die beiden Blöcke zu ziehen. Berechne die vom System erfahrene Beschleunigung und die Zugkraft, die auf die Blöcke wirkt.

 

Gegebene Daten:

  • Masse des Körpers A:    ma = 0,35 kg;
  • Masse des Körpers B:    mb = 1,15 kg;
  • Auf das System angewendete Kraft:    F = 15 N.

Problem-Skizze:

Wir wählen ein nach rechts orientiertes Bezugssystem, also in Richtung der angewandten Kraft \( \vec F \), die das System mit einer Beschleunigung a bewegt.
Abb. 1

Durch das Zeichnen eines Freikörperdiagramms erhalten wir die auf die Blöcke wirkenden Kräfte.

  • Körper A:
    • Horizontale Richtung:
      • \( \vec T \): Seilkraft.
    • Vertikale Richtung:
      • \( {\vec N}_a \): Normalkraft der Oberfläche auf den Körper;
      • \( {\vec P}_{ga} \): Gewichtskraft von Körper A.
Abb. 2
  • Körper B:
    • Horizontale Richtung:
      • \( \vec F \): Auf das System angewendete Kraft;
      • \( -\vec T \): Seilkraft.
    • Vertikale Richtung:
      • \( {\vec N}_b \): Normalkraft der Oberfläche auf den Körper;
      • \( {\vec P}_{gb} \): Gewichtskraft von Körper B.
Abb. 3

Lösung:

Anwendung des 2. Newtonschen Gesetzes

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Körper A:

In vertikaler Richtung erfolgt keine Bewegung, die Normalkraft und die Gewichtskraft heben sich gegenseitig auf.
In horizontaler Richtung

\[ \begin{gather} T=m_aa \tag{I} \end{gather} \]
  • Körper B:

In vertikaler Richtung erfolgt keine Bewegung, die Normalkraft und die Gewichtskraft heben sich gegenseitig auf.
In horizontaler Richtung

\[ \begin{gather} F-T=m_ba \tag{II} \end{gather} \]

Die Gleichungen (I) und (II) bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten (f und a)

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{rr} T&=m_aa \\ F-T&=m_ba \end{array} \right. \end{gather} \]

Einsetzen der Gleichung (I) in die Gleichung (II) ergibt die Beschleunigung

\[ \begin{gather} F-m_aa=m_ba \\[5pt] a=\frac{F}{m_a+m_b} \\[5pt] a=\frac{15}{0,35+1,15} \\[5pt] a=\frac{15}{1,5} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=10\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]
Anmerkung: Das Seil, das die beiden Blöcke verbindet, ist ideal, was bedeutet, dass wir es als un dehnbar und masselos betrachten können. Die einzige Funktion des Seils besteht darin, die Kraft von einem Block auf den anderen zu übertragen. Die beiden Blöcke bilden ein System, das derselben Kraft ausgesetzt ist, und beide haben die gleiche Beschleunigung. Das System verhält sich, als wäre es ein einziger Block mit einer Gesamtmasse, die der Summe der Massen der beiden Blöcke A und B entspricht.

Setzt man die zuvor gefundene Beschleunigung in Gleichung (I) ein, ergibt sich die Zugkraft

\[ \begin{gather} T=0,35\times 10 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T=3,5\;\text N} \end{gather} \]
Anmerkung: Alternativ könnten wir die Beschleunigung auch in Gleichung (II) einsetzen, um die Zugkraft zu berechnen. In diesem Fall hätten wir
\[ \begin{gather} 15-T=1,15\times 10\Rightarrow 15-T=11,5\Rightarrow T=3,5\;\text N \end{gather} \]
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