Ejercicio Resuelto sobre Dinámica
EN
FR
PT-BR
publicidad
Una máquina de Atwood tiene masas mA = 6,25 kg y mB = 6,75 kg
conectadas por una cuerda ideal, inextensible y de masa despreciable, a través de una polea también ideal.
Determinar:
a) La aceleración del sistema;
b) La tensión en la cuerda que conecta las masas;
c) La tensión en la cuerda que sostiene el sistema al techo.
a) La aceleración del sistema;
b) La tensión en la cuerda que conecta las masas;
c) La tensión en la cuerda que sostiene el sistema al techo.
Datos del problema:
- Masa del cuerpo A: mA = 6,25 kg;
- Masa del cuerpo B: mB = 6,75 kg;
- Aceleración de la gravedad: g = 9,8 m/s2.
Dado que la masa del bloque B es mayor que la masa del bloque A, el bloque B baja
mientras que el bloque A sube. El sistema es ideal, por lo tanto, la aceleración es la misma para
todo el conjunto.
Tomamos un sistema de referencia orientado positivamente en la dirección de descenso del bloque B, en el mismo sentido que la aceleración de la gravedad.
Como la cuerda es ideal (de masa despreciable e inextensible), solo transmite el peso de los bloques (Figura 1).
Tomamos un sistema de referencia orientado positivamente en la dirección de descenso del bloque B, en el mismo sentido que la aceleración de la gravedad.
Como la cuerda es ideal (de masa despreciable e inextensible), solo transmite el peso de los bloques (Figura 1).
Haciendo un Diagrama de Cuerpo Libre, tenemos las fuerzas que actúan sobre los bloques.
-
Cuerpo A (Figura 2):
- \( \vec T \) : fuerza de tensión en la cuerda;
- \( {\vec P}_{\small A} \) : peso del bloque A.
-
Cuerpo B (Figura 3):
- \( \vec T \) : fuerza de tensión en la cuerda;
- \( {\vec P}_{\small B} \) : peso del bloque B.
Solución
Aplicando la Segunda Ley de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec F=m\vec a}
\end{gather}
\]
- Cuerpo A:
\[
\begin{gather}
T-P_{\small A}=m_{\small A}a \tag{I}
\end{gather}
\]
- Cuerpo B:
\[
\begin{gather}
P_{\small B}-T=m_{\small B}a \tag{II}
\end{gather}
\]
El peso es dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\end{gather}
\]
para los cuerpos A y B
\[
\begin{gather}
P_{\small A}=m_{\small A}g \tag{III-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P_{\small B}=m_{\small B}g \tag{III-b}
\end{gather}
\]
sustituyendo la ecuación (III-a) en la ecuación (I)
\[
\begin{gather}
T-m_{\small A}g=m_{\small A}a \tag{IV}
\end{gather}
\]
sustituyendo la ecuación (III-b) en la ecuación (II)
\[
\begin{gather}
m_{\small B}g-T=m_{\small B}a\tag{V}
\end{gather}
\]
Las ecuaciones (IV) y (V) forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (a y T),
sumando las dos ecuaciones
\[
\begin{gather}
\frac{
\left\{
\begin{array}{rr}
\cancel{T}-m_{\small A}g=m_{\small A}a\\
m_{\small B}g-\cancel{T}=m_{\small B}a
\end{array}
\right.}
{(m_{\small B}-m_{\small A})g=(m_{\small B}+m_{\small A})a}\\[6pt]
a=\frac{(m_{\small B}-m_{\small A})g}{(m_{\small B}+m_{\small A})}\\[6pt]
a=\frac{(6,75-6,25)\times 9,8}{6,75+6,25}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a\approx 0,38\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
b) Sustituyendo el valor encontrado en el ítem (a) en la primera (o en la segunda ecuación del sistema) ecuación del sistema, obtenemos la tensión en la cuerda
\[
\begin{gather}
T-m_{\small A}g=m_{\small A}a\\[5pt]
T=6,25\times 9,8+6,25\times 0,38
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{T\approx 63,63\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
c) Dado que la polea distribuye la tensión de manera igual en ambos lados de la cuerda, la tensión en la cuerda que sostiene el sistema al techo será el doble (Figura 1).
\[
\begin{gather}
2T=2\times 63,63
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{2T\approx 127,26\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
publicidad
Fisicaexe - Physics Solved Problems by Elcio Brandani Mondadori is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License .