Exercício Resolvido de Limites
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v) \( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{x^{2}+p^{2}\;}-p}{\sqrt{x^{2}+q^{2}\;}-q}} \)
Observação: Substituindo diretamente o valor
\[
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{0^{2}+p^{2}\;}-p}{\sqrt{0^{2}+q^{2}\;}-q}}=\frac{0}{0}
\]
temos uma indeterminação do tipo
\( \frac{0}{0} \)
Multiplicando o numerador e o denominador por \( \sqrt{x^{2}+p^{2}\;}+p \) e por \( \sqrt{x^{2}+q^{2}\;}-q\ \)
\[
\begin{gather}
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{x^{2}+p^{2}\;}-p}{\sqrt{x^{2}+q^{2}\;}-q}}.\frac{\left(\sqrt{x^{2}+p^{2}\;}+p\right)}{\left(\sqrt{x^{2}+p^{2}\;}+p\right)}.\frac{\left(\sqrt{x^{2}+q^{2}\;}+q\right)}{\left(\sqrt{x^{2}+q^{2}\;}+q\right)}\\[5pt]
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\left(\sqrt{x^{2}+p^{2}\;}\right)^{2}+\cancel{p\sqrt{x^{2}+p^{2}\;}}-\cancel{p\sqrt{x^{2}+p^{2}\;}}-p.p}{\left(\sqrt{x^{2}+q^{2}\;}\right)^{2}+\cancel{q\sqrt{x^{2}+q^{2}\;}}-\cancel{q\sqrt{x^{2}}+q^{2}\;}-q.q}}.\frac{\left(\sqrt{x^{2}+q^{2}\;}+q\right)}{\left(\sqrt{x^{2}+p^{2}\;}+p\right)}\\[5pt]
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x^{2}+p^{2}-p^{2}}{x^{2}+q^{2}-q^{2}}}.\frac{\left(\sqrt{x^{2}+q^{2}\;}+\sqrt{2\;}\right)}{\left(\sqrt{x^{2}+p^{2}\;}+3\right)}\\[5pt]
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\cancel{x^{2}}}{\cancel{x^{2}}}}.\frac{\left(\sqrt{x^{2}+q^{2}\;}+q\right)}{\left(\sqrt{x^{2}+p^{2}\;}+p\right)}\\[5pt]
\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sqrt{x^{2}+q^{2}\;}+q}{\sqrt{x^{2}+p^{2}\;}+p}}\\[5pt]
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{0^{2}+q^{2}\;}+q}{\sqrt{0^{2}+p^{2}\;}+p}}=\frac{2q}{2p}=\frac{q}{p}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{x^{2}+p^{2}\;}-p}{\sqrt{x^{2}+q^{2}\;}-q}}=\frac{q}{p}}
\]
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