Exercício Resolvido de Limites
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s) \( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}{\frac{x^{n}-1}{x-1}} \)
Observação: Substituindo diretamente o valor
\[
\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{1^{n}-1}{1-1}}
\]
temos uma indeterminação do tipo
\( \frac{0}{0} \)
Dividindo xn – 1 por x – 1 o resultado será (divisão de polinômios)
\[
\begin{split}
\frac{x^{n}-1}{x-1} &=x^{n-1}+x^{n-1}+...+x^{n-n}=\\
&=x^{n-1}+x^{n-1}+...+x^{0}=\\
&=x^{n-1}+x^{n-1}+...+1
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
\lim_{x\rightarrow1}\;&{x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+...+1}=\\
&=\lim_{x\rightarrow1}{1^{n-1}+1^{n-2}+1^{n-3}+...+1}=\\
&=\underbrace{1+1+1+...+1}_{n}=n
\end{split}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{x^{n}-1}{x-1}}=n}
\]
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