Exercício Resolvido de Limites
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o) \( \displaystyle \lim_{y\rightarrow -2}{\frac{y^{3}+3y^{2}+2y}{y^{2}-y-6}} \)
Observação: Substituindo diretamente o valor
\[
\lim_{y\rightarrow-2}{\frac{(-2)^{3}+3.(-2)^{2}+2.(-2)}{(-2)^{2}-(-2)-6}}=\frac{0}{0}
\]
temos uma indeterminação do tipo
\( \frac{0}{0} \)
Colocando y em evidência no numerador
\[
\lim_{y\rightarrow -2}{\frac{y\left(y^{2}+3y+2\right)}{y^{2}-y-6}}
\]
Calculando as raízes das Equações do 2.º Grau no numerador e no denominador
\[
\begin{gather}
y^{2}+3y+2=0\\[10pt]
\Delta=3^{2}-4.1.2=9-8=1\\[5pt]
y_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{1\;}}{2.1}=\frac{-3\pm1\;}{2}\\[5pt]
y_{1}=-1\qquad \text{e}\qquad y_{2}=-2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
y^{2}-y-6=0\\[10pt]
\Delta=(-1)^{2}-4.1.(-6)=1+24=25\\[5pt]
y_{1,2}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{25\;}}{2.1}=\frac{1\pm5\;}{2}\\[5pt]
y_{1}=3\qquad \text{e}\qquad y_{2}=-2
\end{gather}
\]
O limite pode ser escrtio como
\[
\lim_{y\rightarrow -2}{\frac{y(y+1)\cancel{(y+2)}}{(y-3)\cancel{(y+2)}}}=\lim_{y\rightarrow -2}{\frac{-2(-2+1)}{-2-3}}=-{\frac{2}{5}}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\lim_{y\rightarrow-2}{\frac{y^{3}+3y^{2}+2y}{y^{2}-y-6}}=-{\frac{2}{5}}}
\]
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