Exercício Resolvido de Limites
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m) \( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}{\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-12x+20}} \)
Observação: Substituindo diretamente o valor
\[
\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{2^{2}-5.2+6}{2^{2}-12.2+20}}=\frac{0}{0}
\]
temos uma indeterminação do tipo
\( \frac{0}{0} \)
Fatorando os termos no numerador e no denominador
\[
\begin{gathered}
x^{2}-5x+6\\[10pt]
\Delta=(-5)^{2}-4.1.6=25-24=1\\[5pt]
x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1\;}}{2.1}=\frac{5\pm1\;}{2}\\[5pt]
x_{1}=3\qquad \text{ou}\qquad x_{2}=2
\end{gathered}
\]
\[
\begin{gathered}
x^{2}-12x+20\\[10pt]
\Delta=(-12)^{2}-4.1.20=144-80=64\\[5pt]
x_{1,2}=\frac{-(-12)\pm\sqrt{64\;}}{2.1}=\frac{12\pm8\;}{2}\\[5pt]
x_{1}=10\qquad \text{ou}\qquad x_{2}=2
\end{gathered}
\]
O limite pode ser escrtio como
\[
\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{\cancel{(x-2)}(x-3)}{\cancel{(x-2)}(x-10)}}=\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{2-3}{2-10}}=\frac{1}{8}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\lim_{x\rightarrow 2}{\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-12x+20}}=\frac{1}{8}}
\]
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