Exercício Resolvido de Limites
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g) \( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\;{\frac{8x^{2}-1}{6x^{2}-5x+1}} \)
O termo do denominador possui raízes em
\[
\begin{gathered}
6x^{2}-5x+1=0\\[5pt]
\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4.6.1=25-24=1\\[5pt]
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-5)\pm \sqrt{1\;}}{2.6}=\frac{(5\pm1)}{12}
\end{gathered}
\]
as duas raízes da equação serão
\[
x_{1}=\frac{1}{3}\qquad \text{e}\qquad x_{2}=\frac{1}{2}
\]
Quando x tende a 2 pela esquerda
\[
\lim_{x\rightarrow{\frac{1}{2}}_{\;\text{-}}}\;{\frac{8x^{2}-1}{6x^{2}-5x+1}}=-\infty
\]
Quando x tende a 2 pela direita
\[
\lim_{x\rightarrow{\frac{1}{2}}_{\;\text{+}}}\;{\frac{8x^{2}-1}{6x^{2}-5x+1}}=+\infty
\]
Observação: Quando x tende a 1/2 pela esquerda o limite tende a
\( -\infty \),
quando x tende a 2 pela direita o limite tende a
\( +\infty \)
(Gráfico 1).
Quando x tende a 1/2 pela esquerda temos valores menores que 1/2, por exemplo
Quando x tende a 1/2 pela direita temos valores maiores que 1/2, por exemplo
Esse mesmo comportamento da função ocorre para a outra raiz em 1/3.
Quando x tende a 1/2 pela esquerda temos valores menores que 1/2, por exemplo
| x | f(x) |
| 0,4900 | −97,9 |
| 0,4990 | −997,9 |
| 0,4999 | −9997,9 |
Quando x tende a 1/2 pela direita temos valores maiores que 1/2, por exemplo
| x | f(x) |
| 0,510 | 101,9 |
| 0,501 | 1001,9 |
| 0,5001 | 10001,9 |
Esse mesmo comportamento da função ocorre para a outra raiz em 1/3.
Como os limites a esquerda e a direita são diferentes o limite não existe .
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