Exercício Resolvido de Derivadas de Funções
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h)   \( \displaystyle y=\frac{(x+1)^{3}}{x^{\frac{3}{2}}} \)

  • 1.º método
Escrevendo a função dada na forma de um produto de funções.
\[ y=(x+1)^{3}.x^{-{\frac{3}{2}}} \]
Usando a regra de derivação de uma constante, a regra de derivação de potência, a regra da cadeia e a regra do produto de funções
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {y=\text{constante}\quad text{,}\quad y'=0} \]
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {y=x^{n}\quad , \quad y'=nx^{n-1}} \]
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {F(x)=f(g(x))\quad \text{,}\quad \frac{dF}{dx}=\frac{df}{dg}.\frac{dg}{dx}} \]
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {y=f(x).g(x)\quad text{,}\quad y'=f'g+fg'} \]
O primeiro termo da função dada é a composição de duas funções   \( \displaystyle f(g)=g^{3} \)   e   \( \displaystyle g(x)=x+1 \)
\[ \begin{gather} y'=\overbrace{\left[3(x+1)^{3-1}\right.}^{\frac{df}{dg}}.\overbrace{\left.(x^{1-1}+0)\right]}^{\frac{dg}{dx}}.x^{-{\frac{3}{2}}}+(x+1)^{3}.\left(-{\frac{3}{2}}\right)x^{-{\frac{3}{2}-1}}\\[5pt] y'=3(x+1)^{2}.x^{0}.x^{-{\frac{3}{2}}}+(x+1)^{3}.\left(-{\frac{3}{2}}\right)x^{\frac{-3-2}{2}}\\[5pt] y'=3(x+1)^{2}.1.x^{-{\frac{3}{2}}}-\frac{3}{2}(x+1)^{3}.x^{-{\frac{5}{2}}}\\[5pt] y'=3(x+1)^{2}x^{-{\frac{3}{2}}}-\frac{3}{2}(x+1)^{3}x^{-{\frac{5}{2}}} \end{gather} \]
colocando em evidência o termo   \( 3(x+1)^{2}x^{-{\frac{5}{2}}} \)
\[ \begin{gather} y'=3(x+1)^{2}x^{-{\frac{5}{2}}}\;\left[x-\frac{1}{2}(x+1)\right]\\[5pt] y'=3(x+1)^{2}x^{-{\frac{5}{2}}}\;\left[\frac{2x-x-1}{2}\right]\\[5pt] y'=\frac{3(x+1)^{2}x^{-{\frac{5}{2}}}(x-1)}{2} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {y'=\frac{3(x+1)^{2}(x-1)}{2x^{\frac{5}{2}}}} \]
  • 2.º método
Usando a regra de derivação de uma constante, a regra de derivação de potência, a regra da cadeia e a regra do quociente de funções
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {y=\text{constante}\quad text{,}\quad y'=0} \]
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {y=x^{n}\quad , \quad y'=nx^{n-1}} \]
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {F(x)=f(g(x))\quad \text{,}\quad \frac{dF}{dx}=\frac{df}{dg}.\frac{dg}{dx}} \]
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {y=\frac{f(x)}{g(x)}\quad text{,}\quad y'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}} \]
O termo do numerador da função dada é a composição de duas funções   \( \displaystyle f(g)=g^{3} \)   e   \( \displaystyle g(x)=x+1 \)
\[ \begin{gather} y'=\frac{\overbrace{\left[3(x+1)^{3-1}\right.}^{\frac{df}{dg}}.\overbrace{\left.(x^{1-1}+0)\right]}^{\frac{dg}{dx}}.\left(x^{\frac{3}{2}}\right)-(x+1)^{3}.\left(\dfrac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}\right)}{\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{2}}\\[5pt] y'=\frac{\left[3(x+1)^{2}.(x^{0})\right].\left(x^{\frac{3}{2}}\right)-(x+1)^{3}.\left(\dfrac{3}{2}x^{\frac{3-2}{2}}\right)}{x^{\frac{3}{2}.2}}\\[5pt] y'=\frac{3(x+1)^{2}.1.x^{\frac{3}{2}}-(x+1)^{3}.\dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}\\[5pt] y'=\frac{\dfrac{2.3(x+1)^{2}x^{\frac{3}{2}}-3(x+1)^{3}x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}\\[5pt] y'=\frac{6(x+1)^{2}x^{\frac{3}{2}}-3(x+1)^{3}x^{\frac{1}{2}}}{2x^{3}} \end{gather} \]
colocando em evidência o termo   \( \dfrac{3(x+1)^{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{3}} \)
\[ \begin{gather} y'=\frac{3(x+1)^{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}\left[\frac{2x-(x+1)}{2}\right]\\[5pt] y'=\frac{3(x+1)^{2}}{x^{3}.x^{-{\frac{1}{2}}}}\left[\frac{2x-x-1}{2}\right]\\[5pt] y'=\frac{3(x+1)^{2}}{x^{3-\frac{1}{2}}}\left[\frac{x-1}{2}\right]\\[5pt] y'=\frac{3(x+1)^{2}(x-1)}{2x^{\frac{6-1}{2}}} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {y'=\frac{3(x+1)^{2}(x-1)}{2x^{\frac{5}{2}}}} \]
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