Exercício Resolvido de Derivadas de Funções
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g) \( \displaystyle y=\sqrt{3x\;}+\sqrt[{3}]{x\;}+\frac{1}{x} \)
Usando a regra de derivação de potência e a regra da cadeia
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{y=x^{n}\quad , \quad y'=nx^{n-1}}
\]
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{F(x)=f(g(x))\quad \text{,}\quad \frac{dF}{dx}=\frac{df}{dg}.\frac{dg}{dx}}
\]
O primeiro termo da função dada é a composição de duas funções
\( \displaystyle f(g)=\sqrt{g\;}=g^{\frac{1}{2}} \)
e
\( \displaystyle g(x)=3x \)
\[
\begin{gather}
y'=(3x)^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}+x^{-1}\\[5pt]
y'=\underbrace{\frac{1}{2}(3x)^{\frac{1}{2}-1}}_{\frac{df}{dg}}.\underbrace{(3)}_{\frac{dg}{dx}}+\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}+(-1)x^{-1-1}\\[5pt]
y'=\frac{3}{2}(3x)^{\frac{1-2}{2}}+\frac{1}{3}x^{\frac{1-3}{3}}-x^{-2}\\[5pt]
y'=\frac{3}{2}(3x)^{-{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{3}x^{-{\frac{2}{3}}}-x^{-2}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{y'=y'=\frac{3}{2\sqrt{3x\;}}+\frac{1}{3\sqrt[{3}]{x^{2}}\;}-\frac{1}{x^{2}}}
\]
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