Exercício Resolvido de Derivadas de Funções
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a)   \( \displaystyle y=x^{3} \)

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {f´(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}} \]
Temos   \( f(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^{3} \)   e   \( f(x)=x^{3} \)
\[ \begin{align} y´ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{(x+\Delta x)^{3}-x^{3}}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{x^{3}+3x^{2}\Delta x+3x\Delta x^{2}+\Delta x^{3}-x^{3}}{\Delta x}}=\\[5pt] &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{3x^{2}\Delta x+3x\Delta x^{2}+\Delta x^{3}}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\cancel{\Delta x}(3x^{2}+3x\Delta x+\Delta x^{2})}{\cancel{\Delta x}}}=\\[5pt] &=\lim_{\Delta x\rightarrow0}{3x^{2}+3x\Delta x+\Delta x^{2}}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{3x^{2}+3x.0+0^{2}}=3x^{2} \end{align} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {y´=3x^{2}} \]
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