Exercício Resolvido de Fatoração e Produtos Notáveis
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b) Sendo \( x+y=4 \) e \( xy=5 \), calcule \( x^{2}+y^{2} \) e \( x^{-2}+y^{-2} \).
Elevando ao quadrado os dois lados da igualdade do termo da soma
\[
(x+y)^{2}=4^{2}
\]
Usando o Produto Notável no termo do lado esquerdo da igualdade
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
\]
\[
x^{2}+2 xy+y^{2}=16
\]
usando o termo da multiplicação dado no problema
\[
\begin{gathered}
x^{2}+2.5+y^{2}=16\\
x^{2}+10+y^{2}=16\\
x^{2}+y^{2}=16-10
\end{gathered}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{x^{2}+y^{2}=6}
\]
O termo
\( x^{-2}+y^{-2} \)
pode ser escrito como
\[
x^{-2}+y^{-2}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}
\]
colocando os termos do lado direito da igualdade sobre o denominador comum
x2y2
\[
\begin{align}
x^{-2}+y^{-2} &=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\\
&=\frac{y^{2}+x^{2}}{x^{2}y^{2}}=\\
&=\frac{x^{2}+y^{2}}{(xy)^{2}}
\end{align}
\]
usando o primeiro resultado obtido acima e o valor de xy dado no problema
\[
x^{-2}+y^{-2}=\frac{6}{5^{2}}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{x^{-2}+y^{-2}=\frac{6}{25}}
\]
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