Exercício Resolvido de Fatoração e Produtos Notáveis
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l) \( \left(\sqrt{2\;}\;x-\sqrt{3\;}\right)^{3} \)
- 1.o Método: por multiplicação direta
\[
\begin{align}
\left(\sqrt{2\;}\;x-\sqrt{3\;}\right)^{3} &=\left(\sqrt{2\;}\;x-\sqrt{3\;}\right).\left(\sqrt{2\;}\;x-\sqrt{3\;}\right).\left(\sqrt{2\;}\;x-\sqrt{3\;}\right)=\\
&=\left(\sqrt{2\;}\;x-\sqrt{3\;}\right).(\sqrt{2\;}\;x.\sqrt{2\;}\;x-\sqrt{2\;}\;x.\sqrt{3\;}-\sqrt{2\;}\;x.\sqrt{3\;}+\sqrt{3\;}.\sqrt{3\;})=\\
&=\left(\sqrt{2\;}\;x-\sqrt{3\;}\right).(2x^{2}-2\sqrt{2\;}\sqrt{3\;}\;x+3)=\\
&=2\sqrt{2\;}\;x^{3}-4\sqrt{3\;}\;x^{2}+3\sqrt{2}\;x-2\sqrt{3\;}\;x^{2}+6\sqrt{2\;}\;x-3\sqrt{3\;}
\end{align}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{2\sqrt{2\;}\;x^{3}-6\sqrt{3}\;x^{2}+9\sqrt{2\;}x-3\sqrt{3\;}}
\]
- 2.o Método: pelo Produto Notável
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{2}}
\]
\[
\begin{align}
\left(\sqrt{2\;}\;x-\sqrt{3\;}\right)^{3} &=\left(\sqrt{2\;}\;x\right)^{3}-3.\left(\sqrt{2\;}\;x\right)^{2}.\sqrt{3\;}+3.\sqrt{2\;}\;x\left(\sqrt{3\;}\right)^{2}-\left(\sqrt{3\;}\right)^{3}=\\
&=2\sqrt{2\;}\;x^{3}-3.2\sqrt{3\;}x^{2}+3.3\sqrt{2\;}\;x-3\sqrt{3\;}
\end{align}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{2\sqrt{2\;}\;x^{3}-6\sqrt{3}\;x^{2}+9\sqrt{2\;}x-3\sqrt{3\;}}
\]
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