Exercício Resolvido de Equações do 2.º Grau

Calcule p sabendo que a diferença das raízes da equação \( 2x^{2}-(p-1)x+(p+1)=0 \) é igual a 1.

Calculando Δ

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta =b^{2}-4ac} \]

\[ \begin{align} & \Delta =[-(p-1)]^{2}-4.2.(p+1)\\ & \Delta=(p-1)^{2}-8(p+1) \end{align} \]

desenvolvendo o primeiro termo pelo Produto Notável

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}} \]

\[ \Delta =p^{2}-2.1p+1^{2}-8(p+1) \]

aplicando a Propriedade Distributiva ao segundo termo entre parênteses

\[ \begin{align} & \Delta =p^{2}-2p+1-8p-8.1\\ & \Delta=p^{2}-2p+1-8p-8\\ & \Delta =p^{2}-10p-7 \end{align} \]

Cálculo das raízes

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta \;}}{2a}} \]

\[ \begin{align} & x_{1,2}=\frac{-[-(p-1)]\pm\sqrt{p^{2}-10p-7\;}}{2.2}\\ & x_{1,2}=\frac{(p-1)\pm\sqrt{p^{2}-10p-7\;}}{4} \end{align} \]

As duas raízes são

\[ \begin{gather} x_{1}=\frac{(p-1)+\sqrt{p^{2}-10p-7\;}}{4}\\ \text{ou}\\ x_{2}=\frac{(p-1)-\sqrt{p^{2}-10p-7\;}}{4} \end{gather} \]

fazendo a diferença das raízes igual a 1

\[ \begin{gather} x_{1}-x_{2}=1\\[5pt] \frac{(p-1)+\sqrt{p^{2}-10p-7\;}}{4}-\left[\frac{(p-1)-\sqrt{p^{2}-10p-7\;}}{4}\right]=1\\[5pt] \frac{(p-1)}{4}+\frac{\sqrt{p^{2}-10p-7\;}}{4}-\frac{(p-1)}{4}+\frac{\sqrt{p^{2}-10p-7\;}}{4}=1\\[5pt] \frac{\sqrt{p^{2}-10p-7\;}}{4}+\frac{\sqrt{p^{2}-10p-7\;}}{4}=1\\[5pt]\frac{2\sqrt{p^{2}-10p-7\;}}{4}=1\\[5pt] \frac{\sqrt{p^{2}-10p-7\;}}{2}=1\\[5pt]\sqrt{p^{2}-10p-7\;}=1.2\\[5pt]\sqrt{p^{2}-10p-7\;}=2 \end{gather} \]

elevando ambos os lados ao quadrado

\[ \begin{gather} \left(\sqrt{p^{2}-10p-7\;}\right)^{2}=2^{2}\\[5pt] p^{2}-10p-7-4=0\\[5pt]p^{2}-10p-11=0 \end{gather} \]

Calculando Δ

\[ \begin{align} & \Delta =(-10)^{2}-4.1.(-11)\\ & \Delta =100+44\\ & \Delta =144 \end{align} \]

Cálculo das raízes

\[ \begin{align} & x_{1,2}=\frac{-(-10)\pm\sqrt{144\;}}{2.1}\\ & x_{1,2}=\frac{10\pm12}{2}\\ & x_{1}=\frac{10+12}{2}=\frac{22}{2}=11\\ & x_{1}=\frac{10-12}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \end{align} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {p=11\quad \text{ou}\quad p=-11} \]

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