Exercício Resolvido de Equações do 2.º Grau
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Na equação \( (1+m)x^{2}-(2-m)x+2=0 \), determinar m de modo que:
a) A soma das raízes seja 1;
b) O produto das raízes seja 1.
a) Usando a relação entre os coeficientes e as raízes de uma Equação do 2.&ord,; Grau para a soma das raízes
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{x_{1}+x_{2}=-{\frac{b}{a}}}
\]
Identificando os coeficientes na equação dada
\[
\underbrace{(1+m)}_{a}x^{2}\underbrace{-(2-m)}_{b}x+\underbrace{2}_{c}=0
\]
substituindo os coeficientes na relação acima e a condições dadas no problema
\[
\begin{gather}
x_{1}+x_{2}=1=-{\frac{-(2-m)}{1+m}}\\
1=\frac{2-m}{1+m}
\end{gather}
\]
passando o termo 1+m multiplicando do lado esquerdo
\[
\begin{gather}
1.(1+m)=2-m\\
1+m=2-m\\
m+m=2-1\\
2m=1
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{m=\frac{1}{2}}
\]
b) Usando a relação entre os coeficientes e as raízes de uma Equação do 2.º. Grau para o produto das raízes
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}}
\]
\[
\begin{gather}
x_{1}.x_{2}=1=\frac{2}{1+m}\\
1=\frac{2}{1+m}
\end{gather}
\]
passando o termo 1+m multiplicando do lado esquerdo
\[
\begin{gather}
1+m=2\\
m=2-1
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{m=1}
\]
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