Exercício Resolvido de Equações do 2.º Grau
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b) \( \displaystyle \frac{x-4}{x-2}+\frac{x-2}{x-3}=\frac{11}{6} \)
O fator comum no denominador é \( 6(x-1)(x-2) \)
\[
\begin{gather}
\frac{x-4}{x-2}+\frac{x-2}{x-3}=\frac{11}{6} \\
\frac{6(x-3)(x-4)+6(x-2)(x-2)}{6(x-2)(x-3)}=\frac{11(x-2)(x-3)}{6(x-2)(x-3)}
\end{gather}
\]
aplicando a Propriedade Distributiva ao primeiro termo no numerador do lado esquerdo da igualdade,
multiplicando os termos no numerador do lado direito da igualdade e cancelando os denominadores de ambos
os lados
\[
\begin{gather}
6[x.x-4x-3x-4.(-3)]+6(x-2)^{2}=11[x.x-3x-2x-3.(-2)]\\
6[x^{2}-7x+12]+6(x-2)^{2}=11[x^{2}-5x+6]
\end{gather}
\]
o segundo termo do lado esquerdo da igualdade é um Produto Notável do tipo
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
\]
desenvolvendo o Produto Notável e aplicando a Propriedade Distributiva ao primeiro termo do
lado esquerdo da igualdade e ao termo do lado direito
\[
\begin{gather}
6x^{2}-6.7x+6.12+6(x^{2}-2.2x+2^{2})=11x^{2}-11.5x+11.6\\
6x^{2}-42x+72+6(x^{2}-4x+4)=11x^{2}-55x+66
\end{gather}
\]
aplicando a Propriedade Distributiva ao termo entre parênteses do lado esquerdo da igualdade
\[
\begin{gather}
6x^{2}-42x+72+6x^{2}-24x+24=11x^{2}-55x+66\\
12x^{2}-66x+96=11x^{2}-55x+66\\
12x^{2}-66x+96-11x^{2}+55x-66=0\\
x^{2}-11x+30=0
\end{gather}
\]
Calculando Δ
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\Delta =b^{2}-4ac}
\]
\[
\begin{align}
& \Delta =(-11)^{2}-4.1.30\\
& \Delta =121-120\\
& \Delta =1
\end{align}
\]
Cálculo das raízes
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta \;}}{2a}}
\]
\[
\begin{align}
& x_{1,2}=\frac{-(-11)\pm\sqrt{1\;}}{2.1}\\
& x_{1,2}=\frac{11\pm1}{2}\\
& x_{1}=\frac{11+1}{2}=\frac{12}{2}=6\\
& x_{2}=\frac{11-1}{2}=\frac{10}{2}=5
\end{align}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{V=\{6,5\}}
\]
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