Exercício Resolvido de Equações do 2.º Grau
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a) \( \displaystyle \frac{4}{x-1}-\frac{3}{x-2}=-1 \)
O fator comum no denominador é \( (x-1)(x-2) \)
\[
\begin{gather}
\frac{4}{x-1}-\frac{3}{x-2}=-1 \\
\frac{4(x-2)-3(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{-1(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}
\end{gather}
\]
aplicando a Propriedade Distributiva aos dois termos no numerador do lado esquerdo da igualdade,
multiplicando os termos no numerador do lado direito da igualdade e cancelando os denominadores de ambos
os lados
\[
\begin{gather}
4x-4.2-3x-1.(-3)=-1.[x.x-2x-x-1.(-2)]\\
4x-8-3x+3=-1.[x^{2}-2x-x+2]\\
x-5=-x^{2}+2x+x-2\\
x-5=-x^{2}+3x-2\\
x^{2}-3x+2+x-5=0\\
x^{2}-2x-3=0
\end{gather}
\]
Calculando Δ
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\Delta =b^{2}-4ac}
\]
\[
\begin{align}
& \Delta =(-2)^{2}-4.1.(-3)\\\
& \Delta =4+12\\
& \Delta =16
\end{align}
\]
Cálculo das raízes
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta \;}}{2a}}
\]
\[
\begin{align}
& x_{1,2}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{16\;}}{2.1}\\
& x_{1,2}=\frac{2\pm4}{2}\\
& x_{1}=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3\\
& x_{2}=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1
\end{align}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{V=\{3,-1\}}
\]
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