Determinare la posizione e l'altezza dell'immagine formata da uno specchio sferico di raggio 60 cm, di un oggetto di
altezza 3 cm situato a 20 cm dal vertice di uno specchio concavo.
Dati del problema:
- Raggio di curvatura dello specchio: R = 60 cm;
- Altezza dell'oggetto: o = 3 cm;
- Distanza dell'oggetto dal vertice dello specchio: p = 20 cm.
Schema del problema:
Scegliamo un sistema di riferimento ottico, considerando positiva la direzione orizzontale da cui proviene il raggio
luminoso (a sinistra, dove si trova l'oggetto) e verso l'alto nella direzione verticale (Figura 1).
La distanza del fuoco dal vertice, f, sarà la metà del raggio di curvatura, R. Poiché lo specchio è
concavo, il suo fuoco è positivo (f > 0)
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{f=\frac{R}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
f=\frac{60}{2} \\[5pt]
f=30\;\mathrm{cm} \tag{I}
\end{gather}
\]
Costruzione dell'immagine dello specchio concavo
Tracciamo un primo raggio luminoso utilizzando la proprietà degli specchi sferici, secondo la quale ogni raggio
luminoso che incide parallelamente all'asse ottico principale viene riflesso passando per il fuoco principale dello
specchio (Figura 2).
Tracciamo un secondo raggio utilizzando la proprietà secondo la quale ogni raggio luminoso che incide sul vertice
dello specchio viene riflesso simmetricamente rispetto all'asse ottico principale (Figura 3). Poiché i raggi
riflessi non si intersecano davanti allo specchio, vediamo che si intersecano dietro lo specchio, dove si forma
l'immagine.
Soluzione:
Applicando l'Equazione dei Punti Coniugati, calcoliamo la distanza dell'immagine dallo specchio, q.
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}}
\end{gather}
\]
utilizzando la distanza dell'oggetto dallo specchio, p, data nel problema, e la distanza focale, f,
ottenuta nell'equazione (I).
\[
\begin{gather}
\frac{1}{30}=\frac{1}{20}+\frac{1}{q} \\[5pt]
\frac{1}{q}=\frac{1}{30}-\frac{1}{20}
\end{gather}
\]
il Minimo Comune Multiplo (M.C.M.) tra 30 e 20 è 60.
\[
\begin{gather}
\frac{1}{q}=\frac{2-3}{60} \\[5pt]
\frac{1}{q}=\frac{-1}{60}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{q=-60\;\mathrm{cm}}
\end{gather}
\]
Applicando l'equazione dell'ingrandimento, calcoliamo l'altezza dell'immagine, i.
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{\frac{i}{o}=-{\frac{q}{p}}}
\end{gather}
\]
utilizzando la distanza dell'oggetto dallo specchio e l'altezza dell'oggetto date nel problema, e la distanza
dell'immagine dallo specchio ottenuta sopra.
\[
\begin{gather}
\frac{i}{3}=-{\frac{(-60)}{20}} \\[5pt]
\frac{i}{3}=\frac{60}{20} \\[5pt]
\frac{i}{3}=3 \\[5pt]
i=3\times 3
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{i=9\;\mathrm{cm}}
\end{gather}
\]
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