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FISICAEXE
Esercizio Risolto di Moto Unidimensionale
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Un motociclista è in moto retrogrado; la sua velocità iniziale, in modulo, vale 25 m/s e nell'istante iniziale la sua posizione è −150 m. La motocicletta ha una decelerazione, in modulo, di 2 m/s2. Determinare:
a) L'equazione della posizione in funzione del tempo del moto di questo motociclista;
b) L'equazione della velocità in funzione del tempo;
c) L'istante in cui passa per l'origine;
d) L'istante in cui la sua velocità è nulla.

Dati del problema:

  • Modulo della velocità iniziale del motociclista: |v0| = 25 m/s;
  • Modulo dell'accelerazione del motociclista: |a| = 2 m/s2;
  • Posizione nell'istante iniziale: S0 = −150 m.

Schema del problema:

Scegliamo un sistema di riferimento con verso positivo orientato verso destra.

Figura 1

Soluzione:

a) Il motociclista possiede un'accelerazione; è in Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato, dato da

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {S=S_0+v_0t+\frac{a}{2}\;t^2} \end{gather} \]

la posizione iniziale è data nel problema, S0 = −150 m, poiché il motociclista si muove in direzione opposta all'orientamento della traiettoria e quindi la sua velocità è negativa, (v<0), abbiamo v = −25 m/s. Il motociclista sta decelerando, quindi la sua accelerazione è opposta al verso della velocità (a>0), abbiamo a= 2 m/s2. L'equazione della posizione in funzione del tempo sarà

\[ \begin{gather} S=-150-25t+\frac{2}{2}\;t^2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {S=-150-25t+t^2} \end{gather} \]

b) Per l'equazione della velocità in funzione del tempo vogliamo trovare un'equazione del tipo

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {v=v_0+at} \end{gather} \]

usando i dati del problema otteniamo

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {v=-25t+2t} \end{gather} \]

c) Quando il motociclista passa per l'origine abbiamo S = 0, sostituendo questo valore nell'equazione trovata al punto (a)

\[ \begin{gather} 0=-150-25\;t+t^2 \end{gather} \]

Questa è un'Equazione di Secondo Grado, in cui l'incognita è il valore del tempo che vogliamo trovare.

Soluzione dell'Equazione di Secondo Grado \( t^2-25\;t-150=0 \)
\[ \begin{gather} \Delta =b^2-4ac=(-25)^2-4\times 1\times(-150)=625+600=1225 \\[10pt] t=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta \;}}{2a}=\frac{-(-25)\pm \sqrt{1225\;}}{2\times 1}=\frac{25\pm 35}{2} \end{gather} \]
le due radici dell'equazione saranno
\[ \begin{gather} t_1=30\;\mathrm s\qquad \mathrm{e}\qquad t_2=-5\;\mathrm s \end{gather} \]

Poiché non esiste tempo negativo, scartiamo la seconda radic, passerà per l'origine in t = 30 s (inizia il moto a sinistra dell'origine, la sua velocità diminuisce a causa della decelerazione fino a diventare uguale a zero, quindi cambia verso e comincia a muoversi nel verso del sistema di riferimento fino a passare per l'origine).

d) Quando la velocità della moto si annulla, abbiamo v = 0, sostituendo questo valore nell'equazione trovata al punto (b)

\[ \begin{gather} 0=-25+2t \\[5pt] 2t=25 \\[5pt] t=\frac{25}{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {t=12,5\;\mathrm s} \end{gather} \]

Questo è l'istante in cui il motociclista cambia verso e comincia a muoversi nel verso del sistema di riferimento fino a passare per l'origine.

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