Exercício Resolvido de Oscilações Harmônicas
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Determine a equação de movimento e o período de oscilações para um pêndulo simples no regime de pequenas oscilações.


Esquema do problema:

Vamos adotar que o pêndulo é formado por uma esfera, de massa m, e um corda de comprimento L, inextensível e de massa desprezível. Consideremos o raio da esfera muito pequeno, de tal modo que pode ser desprezado em relação ao comprimento da corda. Se a massa da corda e o raio da esfera não pudessem ser desprezados teríamos um pêndulo composto (Figura 1).
O ângulo inicial de deslocamento do pêndulo é θ0, neste ponto a distância da massa ao ponto de fixação do pêndulo, medida na vertical, é igual à y0. Quando o pêndulo oscila, num instante qualquer, ele terá um ângulo θ de deslocamento e uma distância y em relação ao ponto de fixação.
Figura 1

Solução

A variação da Energia Potencial, ΔEP, quando ele se desloca de uma altura h, é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta E_{P}=mgh} \tag{I} \end{gather} \]
Assumindo que o pêndulo está inicialmente em repouso, a variação da Enegia Cinética, ΔEC, é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta E_{C}=\frac{1}{2}mv^{2}} \tag{II} \end{gather} \]
Como a energia se conserva, não há dissipação de energia neste sistema, a enegia potencial é convertida em energia cinética
\[ \Delta E_{P}=\Delta E_{C} \]
igualando as expressões (I) e (II)
\[ \begin{gather} mgh=\frac{1}{2}mv^{2} \tag{III} \end{gather} \]
da expressão (III) a velocidade tangencial v é dada por
\[ \begin{gather} v=\sqrt{2gh} \tag{IV} \end{gather} \]
A velocidade tangencial é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\omega r} \tag{V} \end{gather} \]
igualando as expressões (IV) e (V)
\[ \begin{gather} \omega r=\sqrt{2gh} \tag{VI} \end{gather} \]
escrevendo   \( \omega =\dot{\theta} \)   e fazendo r = L
\[ \begin{gather} \dot{\theta}L=\sqrt{2gh}\\ \dot{\theta}=\frac{\sqrt{2gh}}{L} \tag{VII} \end{gather} \]
A diferença de altura, h, entre dois instantes da oscilação será (Figura 1)
\[ \begin{gather} h=y-y_{0} \tag{VIII} \end{gather} \]
usando a Trigonometria podemos escrever as distâncias, y0 e y, em função de L, θ e θ0 (Figura 1)
\[ \begin{gather} y_{0}=L\cos \theta _{0} \tag{IX-a}\\[10pt] y=L\cos \theta \tag{IX-b} \end{gather} \]
substituindo as expressões (IX-a) e (IX-b) na expressão (VIII)
\[ \begin{gather} h=L\cos \theta -L\cos \theta _{0}\\[5pt] h=L\left(\cos \theta-\cos \theta _{0}\right) \tag{X} \end{gather} \]
substituindo a expressão (X) na expressão (VII)
\[ \begin{gather} \dot{\theta}=\frac{\sqrt{2gL\left(\cos \theta -\cos\theta _{0}\right)}}{L}\\[5pt] \dot{\theta}=\sqrt{\frac{2gL}{L^{2}}\left(\cos \theta -\cos \theta_{0}\right)}\\[5pt] \dot{\theta}=\sqrt{\frac{2g}{L}\left(\cos \theta -\cos\theta _{0}\right)} \tag{XI} \end{gather} \]
Para encontrar a equação de movimento derivamos a expressão (XI) em função do tempo
\[ \frac{d}{dt}\dot{\theta}=\frac{d}{dt}\sqrt{\frac{2g}{L}\left(\cos \theta -\cos \theta_{0}\right)} \]
Derivada de    \( \displaystyle \left[\frac{2g}{L}\left(\cos \theta -\cos \theta_{0}\right)\right]^{1/2} \)

esta é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[ \frac{dv[(w)]}{dt}=\frac{dv}{dw}\frac{dw}{dt} \]
com   \( v(w)=w^{1/2} \)   e   \( w(t)=\frac{g}{L}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right) \),   assim a derivada será
\[ \begin{gather} \frac{dv[(w)]}{dt}=\frac{1}{2}w^{-1/2}\left(\frac{dw}{dt}\right)\left(\frac{d\theta}{dt}\right)\\ \frac{dv[(w)]}{dt}=\frac{1}{2}\left[\frac{2g}{L}\left(\cos\theta -\cos \theta_{0}\right)\right]^{-1/2}\left(-{\frac{2g}{L}}\operatorname{sen}\theta\right)\frac{d\theta}{dt} \end{gather} \]
Observação: A variável θ depende do tempo, por isso deve ser derivada, último termo da derivação, e θ0 é uma constante, sua derivada é zero.
\[ \ddot{\theta}=\frac{1}{2}\left[\frac{2g}{L}\left(\cos \theta -\cos\theta_{0}\right)\right]^{-1/2}\left(-{\frac{2g}{L}}\operatorname{sen}\theta\right)\dot{\theta} \]
substituindo pela expressão (XI)
\[ \begin{gather} \ddot{\theta}=\frac{1}{\cancel{2}}\cancel{\left[\frac{2g}{L}\left(\cos\theta -\cos \theta_{0}\right)\right]^{-1/2}}\left(-{\frac{\cancel{2}g}{L}}\operatorname{sen}\theta\right)\cancel{\left[\frac{2g}{L}\left(\cos \theta -\cos \theta_{0}\right)\right]^{1/2}}\\[5pt] \ddot{\theta}=-{\frac{g}{L}}\operatorname{sen}\theta \\[5pt] \ddot{\theta}+\frac{g}{L}\operatorname{sen}\theta =0 \end{gather} \]
como estamos trabalhando em um regime de pequenas oscilações podemos expandir a função sen θ em uma série de Taylor.

Expansão em série de Taylor de sen θ
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {f(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^{n}}} \]
fazendo a expansão em torno do ponto de equilíbrio com a = 0, para os 6 primeiros termos da série, temos

\( \displaystyle \frac{f^{0}(0)}{0!}\theta ^{0}=\frac{\operatorname{sen}0}{1}.1=0 \)

Observação: \( f^{0} \) NÃO significa a função f elevada a potência zero, significa a derivada de ordem zero da função f, ou seja, a própria função calculada no pondo a.

\( \displaystyle \frac{f^{\text{I}}(0)}{1!}\theta ^{1}=\frac{\cos 0}{1}\theta =\theta \)

\( \displaystyle \frac{f^{\text{II}}(0)}{2!}\theta^{2}=\frac{-\operatorname{sen}0}{2.1}\theta ^{2}=0 \)

\( \displaystyle \frac{f^{\text{III}}(0)}{3!}\theta ^{3}=\frac{-\cos 0}{3.2.1}\theta^{3}=-{\frac{\theta ^{3}}{6}} \)
\[ \displaystyle \frac{f^{\text{III}}(0)}{3!}\theta ^{3}=\frac{-\cos 0}{3.2.1}\theta^{3}=-{\frac{\theta ^{3}}{6}} \]

\( \displaystyle \frac{f^{\text{IV}}(0)}{4!}\theta^{4}=\frac{-(-\operatorname{sen}0)}{4.3.2.1}\theta ^{4}=0 \)
\[ \displaystyle \frac{f^{\text{IV}}(0)}{4!}\theta^{4}=\frac{-(-\operatorname{sen}0)}{4.3.2.1}\theta ^{4}=0 \]

\( \displaystyle \frac{f^{\text{V}}(0)}{5!}\theta ^{5}=\frac{\cos 0}{5.4.3.2.1}\theta^{5}=\frac{\theta ^{5}}{120} \)
\[ \displaystyle \frac{f^{\text{V}}(0)}{5!}\theta ^{5}=\frac{\cos 0}{5.4.3.2.1}\theta^{5}=\frac{\theta ^{5}}{120} \]

A função seno pode ser representada pela seguinte série de potências
\[ \operatorname{sen}\theta =\theta -\frac{\theta ^{3}}{6}+\frac{\theta^{5}}{120}-... \]
Como estamos considerando θ um ângulo pequeno podemos fazer a aproximação
\[ \operatorname{sen}\theta \approx \theta \]
e desprezamos os termos de potências maiores.
Para um ângulo de \( 10°=\frac{\pi}{18}=0,1745 \), temos \( \operatorname{sen}\frac{\pi}{18}=0,1736 \), a aproximação representa um erro de 0,5%.
\[ \ddot{\theta}+\frac{g}{L}\theta =0 \]
Solução da equação diferencial    \( \displaystyle \ddot{\theta}+\frac{g}{L}\theta =0 \)

A solução é do tipo exponencial, calculando suas derivadas, temos
\[ \begin{array}{l} \theta =\operatorname{e}^{\lambda t} \\ \dot{\theta}=\lambda \operatorname{e}^{\lambda t} \\ \ddot{\theta}=\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t} \end{array} \]
substituindo na equação
\[ \begin{gather} \lambda ^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}+\frac{g}{L}\operatorname{e}^{\lambda t}=0\\ \lambda^{2}+\frac{g}{L}=0\\\lambda ^{2}=-{\frac{g}{L}}\\ \lambda =\pm i\sqrt{\frac{g}{L}} \end{gather} \]
fazendo a seguinte definição   \( \omega_{0}^{2}=\frac{g}{L} \)   a solução é da seguinte forma, onde C1 e C2 são constantes
\[ \theta (t)=C_{1}\operatorname{e}^{i\omega_{0}t}+C_{2}\operatorname{e}^{-i\omega_{0}t} \]
usando a fórmula de Euler \( \operatorname{e}^{ix}=\cos x+i\operatorname{sen}x \)
\[ \begin{gather} \theta (t)=C_{1}\left(\cos \omega_{0}t+i\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)+C_{2}\left(\cos \omega_{0}t-i\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)\\ \theta(t)=\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos \omega_{0}t-i\left(C_{2}-C_{1}\right)\operatorname{sen}\omega_{0}t \end{gather} \]
definindo as seguintes constantes
\[ A=C_{1}+C_{2}\ \ ,\ \ B=i(C_{2}-C_{1}) \]
\[ \theta (t)=A\cos \omega_{0}t+B\operatorname{sen}\omega_{0}t \]
fazendo as seguintes definições
\[ \begin{array}{l} \cos \phi=\dfrac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\ \operatorname{sen}\phi=\dfrac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\ \theta_{0}=\sqrt{A^{2}+B^{2}} \end{array} \]
substituindo na equação
\[ \begin{gather} \theta (t)=\left(A\cos \omega_{0}t-B\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)\frac{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\[5pt] \theta(t)=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\left(\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\cos \omega_{0}t-\frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)\\[5pt] \theta (t)=\theta_{0}\left(\cos \phi \cos \omega_{0}t-\operatorname{sen}\phi \operatorname{sen}\omega_{0}t\right) \end{gather} \]

A equção de movimento será
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta (t)=\theta _{0}\cos \left(\omega_{0}t+\phi \right)} \]
O período de oscilações é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {T=\frac{2\pi }{\omega_{0}}} \]
substituindo a definição de ω02 feita acima
\[ T=\frac{2\pi }{\sqrt{\frac{g}{L}}} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}} \]
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