Exercício Resolvido de Regiões do Plano Complexo
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c) \( \displaystyle \text{Re}\frac{z-2i}{z+2i}=0 \)
Sendo z = x+iy
\[
\begin{gather}
\text{Re}\left[\frac{x+iy-2i}{x+iy+2i}\right]=0\\
\text{Re}\left[\frac{x+i(y-2)}{x+i(y+2)}\right]=0
\end{gather}
\]
Multiplicando o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador
\( \overline{{z}}=x-i(y+2) \)
\[
\begin{gather}
\text{Re}\left[\frac{(x+i(y-2))}{(x+i(y+2))}.\frac{(x-i(y+2))}{(x-i(y+2))}\right]=0\\
\text{Re}\left[\frac{x^{2}-ix(y+2)+ix(y-2)-i^{2}(y-2)(y+2)}{x^{2}-ix(y+2)+ix(y+2)-i^{2}(y+2)^{2}}\right]=0
\end{gather}
\]
sendo
\( i^{2}=-1 \)
\[
\begin{gather}
\text{Re}\left[\frac{x^{2}+ix((y-2)-(y+2))-(-1)(y-2)(y+2)}{x^{2}-(-1)(y+2)^{2}}\right]=0\\
\text{Re}\left[\frac{x^{2}+(y-2)(y+2)+ix(y-2-y-2)}{x^{2}+(y+2)^{2}}\right]=0\\
\text{Re}\left[\frac{x^{2}+(y^{2}+2y-2y-4)}{x^{2}+(y+2)^{2}}+i\frac{x(-4)}{x^{2}+(y+2)^{2}}\right]=0\\
\text{Re}\left[\frac{x^{2}+y^{2}-4}{x^{2}+(y+2)^{2}}-i\frac{4x}{x^{2}+(y+2)^{2}}\right]=0
\end{gather}
\]
Separando a parte real, temos
\[
\begin{gather}
\frac{x^{2}+y^{2}-4}{x^{2}+(y+2)^{2}}=0\\
x^{2}+y^{2}-4=0
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{x^{2}+y^{2}=4}
\]
Os pontos da circunferência com centro na origem (x0, y0)=(0, 0) e raio
igual a 2 (Gráfico 1).
Gráfico 1
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