Exercício Resolvido de Funções Complexas
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d)   \( \displaystyle (-1)^{\sqrt{2\;}} \)

Usando a expressão
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {u^{v}=\operatorname{e}^{v\;\text{Ln}u}} \]
\[ \begin{gather} (-1)^{\sqrt{2\;}}=\operatorname{e}^{\sqrt{2\;}\;\operatorname{Ln}(-1)} \tag{I} \end{gather} \]
A função multivalente do logaritmo é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\operatorname{Ln}z=\ln |z|+i(\operatorname{arg}(z)+2k\pi)} \tag{II} \end{gather} \]
O argumento do logaritmo é o número complexo da forma
\[ u=-1+0i \]
O módulo é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \]
\[ \begin{gather} |u|=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}\;}\\ |u|=1 \tag{III} \end{gather} \]
O argumento é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\theta=\operatorname{arg}(z)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)} \]
\[ \begin{align} \theta &=\operatorname{arg}(u)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)=\\ &=\operatorname{arctg}\left(\frac{0}{-1}\right)=\operatorname{arctg}(0)=\pi \tag{IV} \end{align} \]
Gráfico 1

substituindo os valores (III) e (IV) na expressão (II)
\[ \begin{gather} \operatorname{Ln}(-1)=\ln (1)+i(\pi +2k\pi)\\ \operatorname{Ln}(-1)=0+i\pi +2k\pi i\\ \operatorname{Ln}(-1)=(2k+1)\pi i \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a expressão (V) na expressão (I)
\[ \begin{gather} (-1)^{\sqrt{2\;}}=\operatorname{e}^{\sqrt{2\;}\;(2k+1)\pi i} \end{gather} \]
Aplicando a Fórmula de Euler
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\operatorname{e}^{i\theta}=\cos \theta +i\operatorname{sen}\theta} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {(-1)^{\sqrt{2\;}}=\cos \left[\sqrt{2\;}\;(2k+1)\pi\right]+i\operatorname{sen}\left[\sqrt{2\;}\;(2k+1)\pi \right]} \]
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