e)
\( \operatorname{Arccosh}z \quad , \quad z_{0}=-1 \)
Queremos calcular
\[
\begin{gather}
w=\operatorname{Arccosh}z \tag{I}
\end{gather}
\]
podemos escrever
\[
\begin{gather}
\cosh w=z \tag{II}
\end{gather}
\]
O cosseno hiperbólico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\cosh w=\frac{\operatorname{e}^{w}+\operatorname{e}^{-w}}{2}} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (III) na expressão (II)
\[
\begin{gathered}
z=\frac{\operatorname{e}^{w}+\operatorname{e}^{-w}}{2}\\
2z=\operatorname{e}^{w}+\operatorname{e}^{-w}
\end{gathered}
\]
multiplicando toda a equação por e
w
\[
\begin{gathered}
\qquad \qquad \quad \operatorname{e}^{w}+\operatorname{e}^{-w}-2z=0\qquad(\times\operatorname{e}^{w})\\
\operatorname{e}^{w}.e^{w}+\operatorname{e}^{-w}.e^{w}-2ze^{w}=0\\
\operatorname{e}^{2w}-2ze^{w}+1=0
\end{gathered}
\]
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{gather}
\lambda =\operatorname{e}^{w}\\[10pt]
\lambda^{2}-2z\lambda +1=0
\end{gather}
\]
resolvendo a
Equação do 2.º Grau
\[
\begin{gathered}
\Delta =(-2z)^{2}-4.1.1=4z^{2}-4=4(z^{2}-1)\\[5pt]
\lambda_{1,2}=\frac{-(-2z)\pm \sqrt{4(z^{2}-1)\;}}{2}=z\pm\sqrt{z^{2}-1\;}
\end{gathered}
\]
substituindo as raízes da equação na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
z+\sqrt{z^{2}-1\;}=\operatorname{e}^{w}\\
w=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1\;}\right)\\
w=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1\;}\right)\\
w=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1\;}\right)\\
w=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1\;}\right) \tag{V}
\end{gather}
\]
Observação: Lembrando que os cálculos são válidos para as duas raízes
\( z\pm \sqrt{z^{2}-1\;} \).
substituindo as expressão (V) na expressão (I)
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\operatorname{Arccosh}z=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1\;}\right)}
\]
Para
z0 =-1
\[
\begin{gather}
\operatorname{Arccosh}(-1)=\operatorname{Ln}\left(-1+\sqrt{(-1)^{2}-1\;}\right)\\
\operatorname{Arccosh}(-1)=\operatorname{Ln}\left(-1+\sqrt{1-1\;}\right)\\
\operatorname{Arccosh}(-1)=\operatorname{Ln}(-1) \tag{VI}
\end{gather}
\]
A função multivalente do logaritmo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\operatorname{Ln}z=\ln |z|+i\;\left(\operatorname{arg}(z)+2k\pi \right)} \tag{VII}
\end{gather}
\]
O argumento do logaritmo é o número complexo da forma
\[
z=-1+0 i
\]
O módulo é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\]
\[
\begin{gather}
|z|=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}\;}\\
|z|=1 \tag{VIII}
\end{gather}
\]
O argumento é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\operatorname{arg}(z)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)}
\]
\[
\begin{gather}
\operatorname{arg}(z)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)=\operatorname{arctg}\left(\frac{0}{-1}\right)=\pi \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo os valores (VIII) e (IX) na expressão (VII)
\[
\begin{gather}
\operatorname{Ln}(-1)=\ln |1|+i\left(\pi +2k\pi\right)\\
\operatorname{Ln}(-1)=i\left(\pi +2k\pi \right) \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (X) na expressão (VI)
\[
\operatorname{Arccosh}(-1)=i\left(\pi +2k\pi \right)
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\operatorname{Arccosh}(-1)=\left(1+2k\right)\pi i}
\]