Exercício Resolvido de Funções Complexas
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e) \( \operatorname{Arccosh}z \quad , \quad z_{0}=-1 \)

Queremos calcular
\[ \begin{gather} w=\operatorname{Arccosh}z \tag{I} \end{gather} \]
podemos escrever
\[ \begin{gather} \cosh w=z \tag{II} \end{gather} \]
O cosseno hiperbólico é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\cosh w=\frac{\operatorname{e}^{w}+\operatorname{e}^{-w}}{2}} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo a expressão (III) na expressão (II)
\[ \begin{gathered} z=\frac{\operatorname{e}^{w}+\operatorname{e}^{-w}}{2}\\ 2z=\operatorname{e}^{w}+\operatorname{e}^{-w} \end{gathered} \]
multiplicando toda a equação por ew
\[ \begin{gathered} \qquad \qquad \quad \operatorname{e}^{w}+\operatorname{e}^{-w}-2z=0\qquad(\times\operatorname{e}^{w})\\ \operatorname{e}^{w}.e^{w}+\operatorname{e}^{-w}.e^{w}-2ze^{w}=0\\ \operatorname{e}^{2w}-2ze^{w}+1=0 \end{gathered} \]
fazendo a mudança de variável
\[ \begin{gather} \lambda =\operatorname{e}^{w}\\[10pt] \lambda^{2}-2z\lambda +1=0 \end{gather} \]
resolvendo a Equação do 2.º Grau
\[ \begin{gathered} \Delta =(-2z)^{2}-4.1.1=4z^{2}-4=4(z^{2}-1)\\[5pt] \lambda_{1,2}=\frac{-(-2z)\pm \sqrt{4(z^{2}-1)\;}}{2}=z\pm\sqrt{z^{2}-1\;} \end{gathered} \]
substituindo as raízes da equação na expressão (IV)
\[ \begin{gather} z+\sqrt{z^{2}-1\;}=\operatorname{e}^{w}\\ w=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1\;}\right)\\ w=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1\;}\right)\\ w=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1\;}\right)\\ w=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1\;}\right) \tag{V} \end{gather} \]
Observação: Lembrando que os cálculos são válidos para as duas raízes \( z\pm \sqrt{z^{2}-1\;} \).

substituindo as expressão (V) na expressão (I)
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\operatorname{Arccosh}z=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1\;}\right)} \]
Para z0 =-1
\[ \begin{gather} \operatorname{Arccosh}(-1)=\operatorname{Ln}\left(-1+\sqrt{(-1)^{2}-1\;}\right)\\ \operatorname{Arccosh}(-1)=\operatorname{Ln}\left(-1+\sqrt{1-1\;}\right)\\ \operatorname{Arccosh}(-1)=\operatorname{Ln}(-1) \tag{VI} \end{gather} \]
A função multivalente do logaritmo é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\operatorname{Ln}z=\ln |z|+i\;\left(\operatorname{arg}(z)+2k\pi \right)} \tag{VII} \end{gather} \]
O argumento do logaritmo é o número complexo da forma
\[ z=-1+0 i \]
O módulo é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \]
\[ \begin{gather} |z|=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}\;}\\ |z|=1 \tag{VIII} \end{gather} \]
O argumento é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\operatorname{arg}(z)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)} \]
\[ \begin{gather} \operatorname{arg}(z)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)=\operatorname{arctg}\left(\frac{0}{-1}\right)=\pi \tag{IX} \end{gather} \]
substituindo os valores (VIII) e (IX) na expressão (VII)
\[ \begin{gather} \operatorname{Ln}(-1)=\ln |1|+i\left(\pi +2k\pi\right)\\ \operatorname{Ln}(-1)=i\left(\pi +2k\pi \right) \tag{X} \end{gather} \]
substituindo a expressão (X) na expressão (VI)
\[ \operatorname{Arccosh}(-1)=i\left(\pi +2k\pi \right) \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\operatorname{Arccosh}(-1)=\left(1+2k\right)\pi i} \]
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