Exercício Resolvido de Funções Complexas
publicidade
a) \( \operatorname{Arccos}z \quad , \quad z_{0}=2 \)
Queremos calcular
\[
\begin{gather}
w=\operatorname{Arccos}z \tag{I}
\end{gather}
\]
podemos escrever
\[
\begin{gather}
\cos w=z \tag{II}
\end{gather}
\]
O cosseno é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\cos w=\frac{\operatorname{e}^{iw}+\operatorname{e}^{-iw}}{2}} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (III) na expressão (II)
\[
\begin{gathered}
z=\frac{\operatorname{e}^{iw}+\operatorname{e}^{-iw}}{2}\\
2z=\operatorname{e}^{iw}+\operatorname{e}^{-iw}
\end{gathered}
\]
multiplicando toda a equação por eiw
\[
\begin{gathered}
\qquad \qquad\quad \operatorname{e}^{iw}+\operatorname{e}^{-iw}-2z=0\qquad (\times\operatorname{e}^{iw})\\
\operatorname{e}^{iw}.e^{iw}+\operatorname{e}^{-iw}.e^{iw}-2ze^{iw}=0\\
\operatorname{e}^{2iw}-2ze^{iw}+1=0
\end{gathered}
\]
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{gather}
\lambda =\operatorname{e}^{iw} \tag{IV}\\[10pt]
\lambda^{2}-2z\lambda +1=0
\end{gather}
\]
resolvendo a Equação do 2.º Grau
\[
\begin{gathered}
\Delta =(-2z)^{2}-4.1.1=4z^{2}-4=4(z^{2}-1)\\[5pt]
\lambda_{1,2}=\frac{-(-2z)\pm \sqrt{4(z^{2}-1)\;}}{2}=z\pm\sqrt{z^{2}-1\;}
\end{gathered}
\]
substituindo as raízes da equação na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
z+\sqrt{z^{2}-1\;}=\operatorname{e}^{iw}\\
iw=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1\;} \right)\\
w=\frac{1}{i}\;\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1\;} \right).\frac{i}{i}\\
w=\frac{i}{i^{2}}\;\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1\;} \right)\\
w=-i\;\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1\;} \right) \tag{V}
\end{gather}
\]
Observação: Lembrando que os cálculos são válidos para as duas raízes
\( z\pm \sqrt{z^{2}-1\;} \).
substituindo as expressão (V) na expressão (I)
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\text{Arccos}z=-i\;\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1\;} \right)}
\]
Para z0 =2
\[
\begin{gather}
\operatorname{Arccos}2=-i\;\operatorname{Ln}\left(2+\sqrt{2^{2}-1\;} \right)\\
\operatorname{Arccos}2=-i\;\operatorname{Ln}\left(2+\sqrt{4-1\;} \right)\\
\operatorname{Arccos}2=-i\;\operatorname{Ln}\left(2+\sqrt{3\;} \right) \tag{VI}
\end{gather}
\]
A função multivalente do logaritmo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\operatorname{Ln}z=\ln |z|+i\;\left(\operatorname{arg}(z)+2k\pi \right)} \tag{VII}
\end{gather}
\]
O argumento do logaritmo é o número complexo da forma
\[
z=2+\sqrt{3}+0i
\]
O módulo é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\]
\[
\begin{gather}
|z|=\sqrt{\left(2+\sqrt{3\;}\right)^{2}+0^{2}\;}\\
|z|=2+\sqrt{3\;} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
O argumento é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\operatorname{arg}(z)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)}
\]
\[
\begin{align}
\operatorname{arg}(z) &=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)=\operatorname{arctg}\left(\frac{0}{2+\sqrt{3\;}}\right)=\\
&=\operatorname{arctg}(0)=0 \tag{IX}
\end{align}
\]
substituindo os valores (VIII) e (IX) na expressão (VII)
\[
\begin{gather}
\operatorname{Ln}\left(2+\sqrt{3\;}\right)=\ln \left(2+\sqrt{3\;}\right)+i\;(0+2k\pi)\\
\operatorname{Ln}\left(2+\sqrt{3\;}\right)=\ln \left(2+\sqrt{3\;}\right)+2k\pi i \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (X) na expressão (VI)
\[
\begin{gathered}
\operatorname{Arccos}2=-i\;\left(\ln \left(2+\sqrt{3\;}\right)+2k\pi i\right)\\
\operatorname{Arccos}2=-i\;\ln \left(2+\sqrt{3\;}\right)+2k\pi i.(-i)\\
\operatorname{Arccos}2=-i\;\ln \left(2+\sqrt{3\;}\right)+2k\pi(-i^{2})\\
\operatorname{Arccos}2=-i\;\ln \left(2+\sqrt{3\;}\right)+2k\pi[-(-1)]
\end{gathered}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\operatorname{Arccos}2=-i\;\ln \left(2+\sqrt{3\;}\right)+2k\pi}
\]
publicidade
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .