Exercício Resolvido de Funções Complexas
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e) \( \ln (i) \)
O logaritmo é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\text{Ln}(z)=\ln |z|+i(\operatorname{arg}(z)+2k\pi )}
\]
O módulo é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\]
\[
\begin{gathered}
z=0+i\\[5pt]
|z|=\sqrt{0^{2}+1^{2}\;}\\|z|=\sqrt{1\;}\\|
z|=1
\end{gathered}
\]
O argumento é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\operatorname{arg}(z)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)}
\]
\[
\operatorname{arg}z=\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{0}\right)=\frac{\pi}{2}
\]
\[
\text{Ln}(i)=\underbrace{\ln (1)}_{0}+i\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi\right)
\]
Para o valor principal da função temos k = 0
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\ln (i)=\frac{\pi }{2}i}
\]
Observação: Usamos a notação Ln para nos referir à função multivalente do
logaritmo e a notação ln para o valor principal da função logaritmo.
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