Exercício Resolvido de Números Complexos
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c) \( \sqrt{3}-3i \)
O módulo é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\]
\[
\begin{gather}
|z|=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+(-3)^{2}\;}\\
|z|=\sqrt{3+9\;}\\
|z|=\sqrt{12\;}\\
|z|=\sqrt{3.2^{2}\;}\\
|z|=2\sqrt{3\;}
\end{gather}
\]
O argumento é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\theta=\operatorname{arg}(z)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)}
\]
\[
\begin{gather}
\theta=\operatorname{arctg}\left(\frac{-3}{\sqrt{3}}\right)\\
\theta=\operatorname{arctg}\left(-{\frac{3}{\sqrt{3}}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)\\
\theta=\operatorname{arctg}\left(-\sqrt{3}\right)=-{\frac{\pi}{3}}
\end{gather}
\]
Escrevendo z na forma
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{z=r\operatorname{e}^{i\theta }\quad,\quad r=|z|}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{z=2\sqrt{3\;}\;\operatorname{e}^{-i\frac{\pi }{3}}}
\]
Gráfico 1
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