Exercício Resolvido de Números Complexos
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a) \( z=-2+2i \)
O módulo é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\]
\[
\begin{gather}
|z|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}\\
|z|=\sqrt{4+4}\\
|z|=\sqrt{8}\\
|z|=\sqrt{2^{3}}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{|z|=2\sqrt{2}}
\]
O argumento é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\theta=\operatorname{arg}(z)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)}
\]
\[
\begin{gather}
\theta=\operatorname{arctg}\left(\frac{2}{-2}\right)\\
\theta=\operatorname{arctg}(-1)
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\theta =\frac{3\pi}{4}}
\]
Escrevendo z na forma polar, temos
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{z=r(\cos \theta +i\operatorname{sen}\theta )\quad \text{,}\quad r=|z|}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{z=2\sqrt{2}\;\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\operatorname{sen}\frac{3\pi}{4}\right)}
\]
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