Exercício Resolvido de Números Complexos
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h) \( \left(\dfrac{1}{1+i}\right)^{2} \)
1.° Método
Multiplicando o numerador e o denominador dentro dos parênteses pelo complexo conjugado do denominador (\( \overline{z}=1-i \))
\[
\begin{gather}
\left[\frac{1}{1+i}.\frac{(1-i)}{(1-i)}\right]^{2}\\
\left[\frac{1-i}{1.1+1.(-i)+i.1+i.(-i)}\right]^{2}\\
\left[\frac{1-i}{1-i+i-i^{2}}\right]^{2}\\
\left[\frac{1-i}{1-i^{2}}\right]^{2}
\end{gather}
\]
sendo
\( i^{2}=-1 \)
\[
\begin{gather}
\left[\frac{1-i}{1-(-1)}\right[^{2}\\
\left[\frac{1-i}{1+1}\right]^{2}\\
\left[\frac{1-i}{2}\right]^{2}\\
\frac{(1-i)^{2}}{2^{2}}\\
\frac{(1-i).(1-i)}{4}\\
\frac{(1.1+1.(-i)-i.1- i .(-i))}{4}\\
\frac{(1-i-i+i^{2})}{4}\\
\frac{(1-2i-1)}{4}\\
\frac{-2i}{4}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{-{\frac{i}{2}}}
\]
2.° Método
Elevando ao quadrado o numerador e o denominador
\[
\begin{gather}
\frac{1^{2}}{(1+i)^{2}}\\
\frac{1}{(1+i).(1+i)}\\
\frac{1}{(1.1+1.i+i.1+i.i)}\\
\frac{1}{(1+i+i+i^{2})}\\
\frac{1}{[1+2i+(-1)]}\\
\frac{1}{[1+2i-1]}\\
\frac{1}{2i}
\end{gather}
\]
Multiplicando o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador
(\( \overline{z}=-2i \))
\[
\begin{gather}
\frac{1}{2i}.\frac{(-2i)}{(-2i)}\\
\frac{-2i}{-4i^{2}}\\
\frac{-2i}{-4.(-1)}\\
\frac{-2i}{4}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{-{\frac{i}{2}}}
\]
Observação: O número complexo 2i é aquele que só possui a parte imaginária, sua parte
real é zero, pode ser representado por
\( z=0+2i \),
então o seu complexo conjugado será da forma
\( \overline{z}=0-2i=-2i \).
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