Exercício Resolvido de Equações de Cauchy-Riemann
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b)   \( \displaystyle w=\text{Re}\;z \)

Escrevendo a função como
\[ w=\text{Re}\;z=\text{Re}(x+iy)=x \]
Condição 1: A função w é contínua em todo o plano complexo.

As Equações de Cauchy-Riemann são dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}} \end{gather}} \]
Identificando as funções u(x, y) e v(x, y)
\[ \begin{array}{l} u(x,y)=x\\ v(x,y)=0 \end{array} \]
Calculando as derivadas parciais
\[ \begin{array}{l} \dfrac{\partial u}{\partial x}=1\\[5pt] \dfrac{\partial v}{\partial y}=0\\[5pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}=0\\[5pt] \dfrac{\partial v}{\partial x}=0 \end{array} \]
Condição 2: As derivadas são contínuas em todo o plano complexo.

Aplicando as Equações de Cauchy-Riemann
\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ 1\neq 0 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\ 0=0 \end{gather} \]
Condição 3: A função w não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.

A função w e as derivadas são contínuas, mas a função não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann, a função w não é analítica e não é diferenciável no plano complexo .
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