e)
\( \displaystyle w=\operatorname{e}^{y}(\cos x+i\operatorname{sen}x) \)
Condição 1: A função w é contínua em todo o plano complexo.
As
Equações de Cauchy-Riemann são dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt]
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}
\end{gather} }
\]
Identificando as funções
u(
x,
y) e
v(
x,
y)
\[
\begin{array}{l}
w=\operatorname{e}^{y}(\cos x+i\operatorname{sen}x)\\
w=\operatorname{e}^{y}\cos x+i\operatorname{e}^{y}\operatorname{sen}x\\
u(x,y)=\operatorname{e}^{y}\cos x \\
v(x,y)=\operatorname{e}^{y}\operatorname{sen}x
\end{array}
\]
Calculando as derivadas parciais
\[
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial u}{\partial x}=-\operatorname{e}^{y}\operatorname{sen}x\\[5pt]
\dfrac{\partial v}{\partial y}=\operatorname{e}^{y}\operatorname{sen}x\\[5pt]
\dfrac{\partial u}{\partial y}=\operatorname{e}^{y}\cos x\\[5pt]
\dfrac{\partial v}{\partial x}=\operatorname{e}^{y}\cos x
\end{array}
\]
Condição 2: As derivadas são contínuas em todo o plano complexo.
Aplicando as
Equações de Cauchy-Riemann
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\
-\operatorname{e}^{y}\operatorname{sen}x\neq\operatorname{e}^{y}\operatorname{sen}x
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\
\operatorname{e}^{y}\cos x\neq-\operatorname{e}^{y}\cos x
\end{gather}
\]
Condição 3: A função w não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.
A função
w e as derivadas são contínuas, mas a função não satisfaz as
Equações de Cauchy-Riemann, a
função w não é analítica no plano complexo.
As
Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas, mas se na primeira equação fizermos
\[
-\operatorname{e}^{y}\operatorname{sen}x=\operatorname{e}^{y}\operatorname{sen}x
\]
só será verdadeira se
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}x=0\\
x=\operatorname{arcsen}0\\
\qquad\qquad\qquad\qquad x=n\pi \quad \text{,} \quad n=0, 1, 2, ...
\end{gather}
\]
Na segunda condição se fizermos
\[
\operatorname{e}^{y}\cos x=-\operatorname{e}^{y}\cos x
\]
só será verdadeira se
\[
\begin{gather}
\cos x=0\\
x=\arccos 0\\
\qquad\qquad\qquad\qquad x=n\frac{\pi}{2} \quad \text{,} \quad n=0, 1, 2, ...
\end{gather}
\]
Como não existe um valor de
x que satisfaça as duas condições simultâneamente a função não
é derivável.
A função w não é derivável no plano complexo.