Exercício Resolvido de Equações de Cauchy-Riemann
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e)   \( \displaystyle w=\operatorname{e}^{y}(\cos x+i\operatorname{sen}x) \)


Condição 1: A função w é contínua em todo o plano complexo.

As Equações de Cauchy-Riemann são dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt] \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}} \end{gather} } \]
Identificando as funções u(x, y) e v(x, y)
\[ \begin{array}{l} w=\operatorname{e}^{y}(\cos x+i\operatorname{sen}x)\\ w=\operatorname{e}^{y}\cos x+i\operatorname{e}^{y}\operatorname{sen}x\\ u(x,y)=\operatorname{e}^{y}\cos x \\ v(x,y)=\operatorname{e}^{y}\operatorname{sen}x \end{array} \]
Calculando as derivadas parciais
\[ \begin{array}{l} \dfrac{\partial u}{\partial x}=-\operatorname{e}^{y}\operatorname{sen}x\\[5pt] \dfrac{\partial v}{\partial y}=\operatorname{e}^{y}\operatorname{sen}x\\[5pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}=\operatorname{e}^{y}\cos x\\[5pt] \dfrac{\partial v}{\partial x}=\operatorname{e}^{y}\cos x \end{array} \]
Condição 2: As derivadas são contínuas em todo o plano complexo.

Aplicando as Equações de Cauchy-Riemann
\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ -\operatorname{e}^{y}\operatorname{sen}x\neq\operatorname{e}^{y}\operatorname{sen}x \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\ \operatorname{e}^{y}\cos x\neq-\operatorname{e}^{y}\cos x \end{gather} \]
Condição 3: A função w não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.

A função w e as derivadas são contínuas, mas a função não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann, a função w não é analítica no plano complexo.

As Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas, mas se na primeira equação fizermos
\[ -\operatorname{e}^{y}\operatorname{sen}x=\operatorname{e}^{y}\operatorname{sen}x \]
só será verdadeira se
\[ \begin{gather} \operatorname{sen}x=0\\ x=\operatorname{arcsen}0\\ \qquad\qquad\qquad\qquad x=n\pi \quad \text{,} \quad n=0, 1, 2, ... \end{gather} \]
Na segunda condição se fizermos
\[ \operatorname{e}^{y}\cos x=-\operatorname{e}^{y}\cos x \]
só será verdadeira se
\[ \begin{gather} \cos x=0\\ x=\arccos 0\\ \qquad\qquad\qquad\qquad x=n\frac{\pi}{2} \quad \text{,} \quad n=0, 1, 2, ... \end{gather} \]
Como não existe um valor de x que satisfaça as duas condições simultâneamente a função não é derivável.
A função w não é derivável no plano complexo.
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