a)
\( \displaystyle w=\left(x^{2}-y^{2}-2x\right)+2iy\left(x-1\right) \)
Condição 1: A função w é contínua em todo o plano complexo.
As
Equações de Cauchy-Riemann são dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt]
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}
\end{gather} }
\]
Identificando as funções
u(
x,
y) e
v(
x,
y)
\[
\begin{array}{l}
u(x,y)=x^{2}-y^{2}-2x\\
v(x,y)=2y\left(x-1\right)
\end{array}
\]
Calculando as derivadas parciais
\[
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial u}{\partial x}=2x-2=2(x-1)\\[5pt]
\dfrac{\partial v}{\partial y}=2(x-1) \\[5pt]
\dfrac{\partial u}{\partial y}=-2y \\[5pt]
\dfrac{\partial v}{\partial x}=2y
\end{array}
\]
Condição 2: As derivadas são contínuas em todo o plano complexo.
Aplicando as
Equações de Cauchy-Riemann
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\
2(x-1)=2(x-1)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\
-2y=-2y
\end{gather}
\]
Condição 3: A função w satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.
A função
w é contínua, as derivadas são contínuas e as
Equações de Cauchy-Riemann são
satisfeitas a
função w é analítica.
A função é derivável em
todo plano complexo (função inteira).
A derivada é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{w'=2(x-1)+2yi}
\]