Exercício Resolvido de Calor e Primeira Lei da Termodinâmica
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a) Uma parede plana de área A e espessura e é construída com um material de condutividade térmica (k), ela está mantida com temperaturas T1 e T2 nos seus lados externo e interno respectivamente (T1 > T2). Determine a quantidade de calor por unidade de tempo conduzida do exterior para o interior, através da parede, no estado estacionário.
b) Um tubo cilíndrico possui raio interno a e raio externo b, o tubo tem um comprimento L e é construído de um material de condutividade térmica (k). O interior do tubo é mantido a uma temperatura Ta e seu exterior está a uma temperatura Tb (Ta > Tb). Determine a quantidade de calor por unidade de tempo conduzida do interior para o exterior do tubo no estado estacionário.


Solução

a) O fluxo de calor é dado pela quantidade de calor por unidade de área e por unidade de tempo
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\phi =\frac{Q}{A\Delta t}} \tag{I} \end{gather} \]
Pela Lei da Condução Térmica ou Lei de Fourier o fluxo de calor é proporcional ao gradiente negativo da temperatura
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\phi =-k\frac{dT}{dr}} \tag{II} \end{gather} \]
onde a constante de proporcionalidade é a condutividade térmica do material (k).
Igualando as expressões (I) e (II)
\[ \begin{gather} \frac{Q}{A\Delta t}=-k\frac{dT}{dr} \tag{III} \end{gather} \]
Na parede o calor se propaga na direção x, temos \( dr=dx \) (Figura 1). Separando as variáveis na expressão (III)
\[ \frac{Q}{\Delta t}dx=-kAdT \]
integrando de ambos os lados da igualdade
\[ \int {{\frac{Q}{\Delta t}dx}}=\int {{-kAdT}} \]
Figura 1

na integral do lado esquerdo da igualdade o termo \( \dfrac{Q}{\Delta t} \) não depende da posição e pode “sair” da integral, os limites de integração vão de 0 a e (a espessura da parede). Do lado direito da igualdade, k é uma constante e a área A da parede também é constante e estes termos podem “sair” da integral, os limites de integração vão de T1 a T2 ( do lado mais quente para o lado mais frio)
\[ \frac{Q}{\Delta t}\int _{0}^{e}{{dx}}=-kA\;\int _{T_{1}}^{T_{2}}{{dT}} \]
Integração de \( \displaystyle \int_{0}^{e}{{dx}} \)
\[ \int _{0}^{e}{{dx}}=\left.x\;\right|_{\;0}^{\;e}=e-0=e \]

Integração de \( \displaystyle \int_{T_{1}}^{T_{2}}{{dT}} \)
\[ \int_{T_{1}}^{T_{2}}{{dT}}=\left.T\;\right|_{\;T_{1}}^{\;T_{2}}=T_{2}-T_{1} \]
\[ \begin{gather} \frac{Q}{\Delta t}e=-kA\left(T_{2}-T_{1}\right)\\ \frac{Q}{\Delta t}=-kA\frac{\left(T_{2}-T_{1}\right)}{e} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{Q}{\Delta t}=kA\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{e}} \]

b) A área A de uma casca cilíndrica de raio r e comprimento L é dada por (Figura 2)
\[ \begin{gather} A=2\pi rL \tag{IV} \end{gather} \]
Figura 2
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[ \frac{Q}{2\pi rL\Delta t}=-k\frac{dT}{dr} \]
Separando as variáveis na expressão
\[ \frac{Q}{r\Delta t}dr=-2\pi kLdT \]
integrando de ambos os lados da igualdade
\[ \int {{\frac{Q}{\Delta t}\frac{dr}{r}}}=\int {{-2\pi kLdT}} \]
Figura 3
na integral do lado esquerdo da igualdade o termo \( \dfrac{Q}{\Delta t} \) não depende da posição e pode “sair” da integral, os limites de integração vão de a (raio interno) a b (raio externo) conforme Figura 3. Do lado direito da igualdade os fatores 2π, k e o comprimento L do cilindro são contantes e estes termos podem “sair” da integral, os limites de integração vão de Ta a Tb (do interior mais quente para o exterior mais frio)
\[ \frac{Q}{\Delta t}\int _{a}^{b}{{\frac{dr}{r}}}=-2\pi kL\int_{T_{1}}^{T_{2}}{{dT}} \]
Integração de \( \displaystyle \int_{a}^{b}{{\dfrac{dr}{r}}} \)
\[ \int _{a}^{b}{{\frac{dr}{r}}}=\left.\ln r\;\right|_{\;a}^{\;b}=\ln b-\ln a=\ln \frac{b}{a} \]

a integral em dT já foi obtida no item (a).
\[ \begin{gather} \frac{Q}{\Delta t}\ln \frac{b}{a}=-2\pi kL\left(T_{2}-T_{1}\right)\\ \frac{Q}{\Delta t}=-2\pi kL\frac{\left(T_{2}-T_{1}\right)}{\ln \dfrac{b}{a}} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{Q}{\Delta t}=2\pi kL\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\ln \dfrac{b}{a}}} \]
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