a) Uma parede plana de área
A e espessura
e é construída com um material de condutividade
térmica (
k), ela está mantida com temperaturas
T1 e
T2 nos seus
lados externo e interno respectivamente (
T1 >
T2). Determine a
quantidade de calor por unidade de tempo conduzida do exterior para o interior, através da parede, no estado
estacionário.
b) Um tubo cilíndrico possui raio interno
a e raio externo
b, o tubo tem um comprimento
L e é construído de um material de condutividade térmica (
k). O interior do tubo é mantido a
uma temperatura
Ta e seu exterior está a uma temperatura
Tb
(
Ta >
Tb). Determine a quantidade de calor por unidade de tempo
conduzida do interior para o exterior do tubo no estado estacionário.
Solução
a) O fluxo de calor é dado pela quantidade de calor por unidade de área e por unidade de tempo
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\phi =\frac{Q}{A\Delta t}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Pela
Lei da Condução Térmica ou
Lei de Fourier o fluxo de calor é proporcional ao gradiente negativo
da temperatura
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\phi =-k\frac{dT}{dr}} \tag{II}
\end{gather}
\]
onde a constante de proporcionalidade é a condutividade térmica do material (
k).
Igualando as expressões (I) e (II)
\[
\begin{gather}
\frac{Q}{A\Delta t}=-k\frac{dT}{dr} \tag{III}
\end{gather}
\]
Na parede o calor se propaga na direção
x, temos
\( dr=dx \)
(Figura 1). Separando as variáveis na expressão (III)
\[
\frac{Q}{\Delta t}dx=-kAdT
\]
integrando de ambos os lados da igualdade
\[
\int {{\frac{Q}{\Delta t}dx}}=\int {{-kAdT}}
\]
na integral do lado esquerdo da igualdade o termo
\( \dfrac{Q}{\Delta t} \)
não depende da posição e pode “sair” da integral, os limites de integração vão de 0 a
e (a espessura da
parede). Do lado direito da igualdade,
k é uma constante e a área
A da parede também é constante e
estes termos podem “sair” da integral, os limites de integração vão de
T1 a T
2 (
do lado mais quente para o lado mais frio)
\[
\frac{Q}{\Delta t}\int _{0}^{e}{{dx}}=-kA\;\int _{T_{1}}^{T_{2}}{{dT}}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_{0}^{e}{{dx}} \)
\[
\int _{0}^{e}{{dx}}=\left.x\;\right|_{\;0}^{\;e}=e-0=e
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_{T_{1}}^{T_{2}}{{dT}} \)
\[
\int_{T_{1}}^{T_{2}}{{dT}}=\left.T\;\right|_{\;T_{1}}^{\;T_{2}}=T_{2}-T_{1}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{Q}{\Delta t}e=-kA\left(T_{2}-T_{1}\right)\\
\frac{Q}{\Delta t}=-kA\frac{\left(T_{2}-T_{1}\right)}{e}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{Q}{\Delta t}=kA\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{e}}
\]
b) A área
A de uma casca cilíndrica de raio
r e comprimento
L é dada por (Figura 2)
\[
\begin{gather}
A=2\pi rL \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[
\frac{Q}{2\pi rL\Delta t}=-k\frac{dT}{dr}
\]
Separando as variáveis na expressão
\[
\frac{Q}{r\Delta t}dr=-2\pi kLdT
\]
integrando de ambos os lados da igualdade
\[
\int {{\frac{Q}{\Delta t}\frac{dr}{r}}}=\int {{-2\pi kLdT}}
\]
na integral do lado esquerdo da igualdade o termo
\( \dfrac{Q}{\Delta t} \)
não depende da posição e pode “sair” da integral, os limites de integração vão de
a (raio interno) a
b
(raio externo) conforme Figura 3. Do lado direito da igualdade os fatores 2π,
k e o comprimento
L
do cilindro são contantes e estes termos podem “sair” da integral, os limites de integração vão de
Ta
a
Tb (do interior mais quente para o exterior mais frio)
\[
\frac{Q}{\Delta t}\int _{a}^{b}{{\frac{dr}{r}}}=-2\pi kL\int_{T_{1}}^{T_{2}}{{dT}}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_{a}^{b}{{\dfrac{dr}{r}}} \)
\[
\int _{a}^{b}{{\frac{dr}{r}}}=\left.\ln r\;\right|_{\;a}^{\;b}=\ln b-\ln a=\ln \frac{b}{a}
\]
a integral em
dT já foi obtida no item (a).
\[
\begin{gather}
\frac{Q}{\Delta t}\ln \frac{b}{a}=-2\pi kL\left(T_{2}-T_{1}\right)\\
\frac{Q}{\Delta t}=-2\pi kL\frac{\left(T_{2}-T_{1}\right)}{\ln \dfrac{b}{a}}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{Q}{\Delta t}=2\pi kL\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\ln \dfrac{b}{a}}}
\]