Exercício Resolvido de Equação de Schrödinger
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Se as funções Ψ1(x, t), Ψ2(x, t) e Ψ2(x, t) são soluções da Equação de Schrödinger para um potencial V(x, t), mostre que a combinação linear Ψ(x, t) = c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t) + c3Ψ3(x, t) também é uma solução desta equação.
Solução
Usando a Equação de Schrödinger
\[
-{\frac{\hbar ^{2}}{2m}}\frac{\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}+V(x,t)\Psi (x,t)=i\hbar \frac{\partial \Psi (x,t)}{\partial t}
\]
queremos mostrar que a função dada Ψ(x, t) é solução da Equação de Schrödinger,
escrevendo na seguinte forma
\[
-{\frac{\hbar ^{2}}{2m}}\frac{\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}+V(x,t)\Psi (x,t)-i\hbar \frac{\partial \Psi (x,t)}{\partial t}=0 \tag{I}
\]
substituindo a função Ψ(x, t) dada no problema na expressão (I)
\[
\begin{align}
& -{\frac{\hbar ^{2}}{2m}}\frac{\partial ^{2}[c_{1}\Psi_{1}(x,t)+c_{2}\Psi _{2}(x,t)+c_{3}\Psi _{3}(x,t)]}{\partial x^{2}}\text{+}\qquad\qquad\qquad \\
&\qquad +V(x,t)[c_{1}\Psi_{1}(x,t)+c_{2}\Psi _{2}(x,t)+c_{3}\Psi_{3}(x,t)]\text{--}\; \\
&\qquad -i\hbar \frac{\partial[c_{1}\Psi _{1}(x,t)+c_{2}\Psi _{2}(x,t)+c_{3}\Psi _{3}(x,t)]}{\partial t}=0
\\{\;}\\
& -{\frac{\hbar ^{2}}{2m}}\left[c_{1}\frac{\Psi_{1}(x,t)}{\partial x^{2}}+c_{2}\frac{\Psi _{2}(x,t)}{\partial x^{2}}+c_{3}\frac{\Psi _{3}(x,t)}{\partial x^{2}}\right]\text{+} \qquad\quad\qquad \\
&\qquad +c_{1}\Psi _{1}(x,t)V(x,t)+c_{2}\Psi_{2}(x,t)V(x,t)+c_{3}\Psi _{3}(x,t)V(x,t)\text{+} \\
&\qquad -c_{1}i\hbar\frac{\partial \Psi_{1}(x,t)}{\partial t}-c_{2}i\hbar \frac{\partial\Psi _{2}(x,t)}{\partial t}-c_{3}i\hbar \frac{\partial \Psi_{3}(x,t)}{\partial t}=0
\\{\;}\\
& c_{1}\;\left[-{\frac{\hbar^{2}}{2m}}\frac{\partial ^{2}\Psi _{1}(x,t)}{\partial x^{2}}+V(x,t)\Psi_{1}(x,t)-i\hbar \frac{\partial \Psi _{1}(x,t)}{\partial t}\right]\text{+} \qquad\quad \\
&\qquad +c_{2}\;\left[-{\frac{\hbar^{2}}{2m}}\frac{\partial ^{2}\Psi _{2}(x,t)}{\partial x^{2}}+V(x,t)\Psi_{2}(x,t)-i\hbar \frac{\partial \Psi _{2}(x,t)}{\partial t}\right]\text{+} \quad \tag{II} \\
&\qquad +c_{3}\;\left[-{\frac{\hbar^{2}}{2m}}\frac{\partial^{2}\Psi _{3}(x,t)}{\partial x^{2}}+V(x,t)\Psi_{3}(x,t)-i\hbar \frac{\partial \Psi _{3}(x,t)}{\partial t}\right]=0
\end{align}
\]
Como o problema nos diz que as funções
Ψ1(x, t), Ψ2(x, t) e Ψ2(x,
t) são soluções da Equação de Schrödinger, isto quer dizer que
\[
\begin{gather}
-{\frac{\hbar ^{2}}{2m}}\frac{\partial ^{2}\Psi_{1}(x,t)}{\partial x^{2}}+V(x,t)\Psi _{1}(x,t)-i\hbar \frac{\partial\Psi _{1}(x,t)}{\partial t}=0
\\{\;}\\
-{\frac{\hbar^{2}}{2m}}\frac{\partial ^{2}\Psi _{2}(x,t)}{\partial x^{2}}+V(x,t)\Psi_{2}(x,t)-i\hbar \frac{\partial \Psi _{2}(x,t)}{\partial t}=0
\\{\;}\\
-{\frac{\hbar ^{2}}{2m}}\frac{\partial ^{2}\Psi_{3}(x,t)}{\partial x^{2}}+V(x,t)\Psi _{3}(x,t)-i\hbar \frac{\partial\Psi _{3}(x,t)}{\partial t}=0
\end{gather}
\]
substituindo estes valores na expressão (II)
\[
c_{1}.0+c_{2}.0+c_{3}.0=0
\]
esta igualdade será verificada para quaisquer valores de c1, c2 e
c3, isto torna expressão (I) verdadeira, portanto, Ψ(x, t) é solução da
Equação de Schrödinger.
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