Exercício Resolvido de Fótons
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a) A energia necessária para que um elétron seja removido do sódio é 2,3 eV. O sódio apresenta efeito fotoelétrico para a luz amarela, com λ = 5890 Å?
b) Qual é o comprimento de onda de corte para a emissão fotoelétrica do sódio?
Dados: velocidade da luz, c = 2,998.108 m/s, constante de Planck, h = 6,626.10−34 J.s, e 1 eV = 1,602.10−19 J.


Dados do problema:
  • Função trabalho do sódio:    ϕ = 2,3 eV;
  • Comprimento de onda da luz incidente:    λ = 5890 Å;
  • Velocidade da luz:    c = 2,998.108 m/s;
  • Constante de Planck:    h = 6,626.10−34 J.s;
  • Elétron-volt:    1 eV = 1,602.10−19 J.
Solução

Em primeiro lugar vamos converter o comprimento de onda dado em angstrons (Å) para metros (m) e a função trabalho dada em elétron-volts (eV) para joules (J) usados no Sistema Internacional (S.I.)
\[ \begin{gather} \lambda=5890\;\cancel{\mathrm{\mathring{A}}}.\frac{1.10^{-10}\;\text{m}}{1\;\cancel{\mathrm{\mathring{A}}}}=5,890.10^{3}.10^{-10}\;\text{m}=5,890.10^{-7}\;\text{m}\\[10pt] \phi=2,3\;\cancel{\text{eV}}.\frac{1,602.10^{-19}\;\text{J}}{1\;\cancel{\text{eV}}}=3,695.10^{-19}\;\text{J} \end{gather} \]
a) A energia de um fóton em função da frequência é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E=h\nu} \tag{I} \end{gather} \]
A relação entre a frequência e o comprimento de onda é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {c=\lambda \nu} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \nu=\frac{c}{\lambda} \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a relação (II) na equação (I)
\[ \begin{gather} E=h\frac{c}{\lambda}\\[5pt] E=6,626.10^{-34}.\frac{2,998.10^{8}}{5,89.10^{-7}}\\[5pt] E=3,372.10^{-19}\;\text{J} \end{gather} \]
convertendo esta energia para elétron-volts
\[ \begin{gather} E=3,372.10^{-19}\;\cancel{\text{J}}.\frac{1\;\text{eV}}{1,602.10^{-19}\;\cancel{\text{J}}}=2,1\;\text{eV} \end{gather} \]
A energia do fóton é menor que a função trabalho para remover um elétron do sódio (E < ϕ), o sódio não apresenta efeito fotoelétrico para o comprimento de onda de 5890 Å.

b) A energia cinética (K) com que um fotoelétron é emitido é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {K=h\nu-\phi} \tag{III} \end{gather} \]
O comprimento de onda de corte ocorre quando a energia cinética é igual à zero (K = 0), substituindo a função trabalho dada no problema e a relação (II) na equação (III)
\[ \begin{gather} 0=h\frac{c}{\lambda}-\phi\\[5pt] 3,695.10^{-19}=6,626.10^{-34}.\frac{2,998.10^{8}}{\lambda}\\[5pt] \lambda=6,626.10^{-34}.\frac{2,998.10^{8}}{3,695.10^{-19}}\\[5pt] \lambda=5,376.10^{-7}\approx5,4.10^{-7}\;\text{m} \end{gather} \]
convertendo este comprimento de onda para angstrons
\[ \begin{gather} \lambda=5,4.10^{-7}\;\cancel{\text{m}}.\frac{1\;\mathrm{\mathring{A}}}{1.10^{-10}\;\cancel{\text{m}}}=5,4.10^{-7}.10^{10}\;\mathrm{\mathring{A}}=5400\;\mathrm{\mathring{A}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\lambda=5400\;\mathrm{\mathring{A}}} \end{gather} \]
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