Exercício Resolvido de Radiação de Corpo Negro
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A uma dada temperatura λmax = 6500 Å para uma cavidade de corpo negro. Qual será λmax se a temperatura nas paredes da cavidade for aumentada de forma que a taxa da emissão de radiação espectral seja duplicada?
Dados do problema:
- Comprimento de onda na temperatura T1: λmax1 = 6500 Å;
- Relação entre as radiações espectrais nas temperaturas T1 e T2: RT2 = 2RT1.
Em primeiro lugar vamos converter o comprimento de onda dado em angstron (Å) para metros (m) usado no Sistema Internacional (S.I.)
\[
\begin{gather}
\lambda_{max1}=6500\;\cancel{\overset{\circ}{\mathsf{A}}}.\frac{1.10^{-10}\;\text{m}}{1\;\cancel{\overset{\circ}{\mathsf{A}}}}=6,5.10^{3}.10^{-10}\;\text{m}=6,5.10^{-7}\;\text{m}
\end{gather}
\]
A radiação espectral é dada pela Lei de Stefan
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{R_{T}=\sigma T^{4}}
\end{gather}
\]
escrevendo esta expressão para as situações 1 e 2
\[
\begin{gather}
R_{T1}=\sigma T_{1}^{4} \tag{I-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
R_{T2}=\sigma T_{2}^{4} \tag{I_b}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (I-a) e (I-b) na relação dada entre as radiações espectrais
\[
\begin{gather}
R_{T1}=2R_{T2}\\[5pt]
\cancel{\sigma} T_{1}^{4}=2\cancel{\sigma} T_{2}^{4}\\[5pt]
T_{1}^{4}=2T_{2}^{4} \tag{II}
\end{gather}
\]
A Lei de Wien é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda_{max}T=2,989.10^{-3}}
\end{gather}
\]
usando esta expressão para as situações 1 e 2 obtemos as temperaturas
\[
\begin{gather}
\lambda _{max1}T_{1}=2,989.10^{-3}\\[5pt]
T_{1}=\frac{2,989.10^{-3}}{\lambda_{max1}} \tag{III-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\lambda _{max2}T_{2}=2,989.10^{-3}\\[5pt]
T_{2}=\frac{2,989.10^{-3}}{\lambda_{max2}} \tag{III-b}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (III-a) e (III-b) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
\left(\frac{2,989.10^{-3}}{\lambda_{max2}}\right)^{4}=2\left(\frac{2,989.10^{-3}}{\lambda_{max1}}\right)^{4}\\[5pt]
\frac{\cancel{\left(2,989.10^{-3}\right)^{4}}}{\lambda_{max2}^{4}}=2\frac{\cancel{\left(2,989.10^{-3}\right)^{4}}}{\lambda_{max1}^{4}}\\[5pt]
\frac{1}{\lambda_{max2}^{4}}=2\frac{1}{\lambda_{max1}^{4}}\\[5pt]
\lambda_{max2}^{4}=\frac{\lambda_{max1}^{4}}{2}\\[5pt]
\lambda_{max2}=\sqrt[{4}]{\frac{\lambda_{max1}^{4}}{2}}\\[5pt]
\lambda_{max2}=\frac{\lambda_{max1}}{\sqrt[{4}]{2}}\\[5pt]
\lambda_{max2}=\frac{6,5.10^{-7}}{1,189}\\[5pt]
\lambda_{max2}=5,466.10^{-7}\;\text{m}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\lambda_{max2}=5466\;\overset{\circ}{{\mathsf{A}}}}
\end{gather}
\]
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