Exercício Resolvido de Radiação de Corpo Negro
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a) Determine a massa de repouso perdida por segundo pelo Sol sob a forma de radiação. Dados: temperatura na superfície do Sol: 5700 K; diâmetro do Sol: 1,4.109 m; constante de Stefan-Boltzmann: \( \sigma =5,67.10^{-8}\;\frac{\text{W}}{\text{m}^{2}.\text{T}^{4}} \); velocidade da luz no vácuo: 3,0.108 m/s;
b) Qual a fração da massa de repouso perdida a cada ano pelo Sol sob a forma de radiação. Dado: massa do Sol: 2,0.1030 kg.


Dados do problema:
  • Temperatura na superficial do Sol:    T = 5700 K;
  • Diâmetro do Sol:    D =1,4.109 m;
  • Massa do Sol:    M = 2,0.1030 kg;
  • Constante de Stefan-Boltzmann:    \( \sigma =5,67.10^{-8}\;\frac{\text{W}}{\text{m}^{2}.\text{T}^{4}} \);
  • Velocidade da luz no vácuo:    v = 3,0.108 m/s.
Solução

a) Pela Lei de Stefan-Boltzmann a radiância espectral é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {R_{T}=\sigma T^{4}} \tag{I} \end{gather} \]
A radiância total é definida como a potência irradiada por unidade de área, então podemos escrever
\[ \begin{gather} R_{T}=\frac{P}{A} \tag{II} \end{gather} \]
igualando as expressões (I) e (II)
\[ \begin{gather} \sigma T^{4}=\frac{P}{A}\\[5pt] P=A\;\sigma T^{4} \tag{III} \end{gather} \]
Considerando o Sol esférico, a área superficial será
\[ \begin{gather} A=4\pi r^{2} \tag{IV} \end{gather} \]
o raio de uma esfera é metade do diâmetro
\[ \begin{gather} r=\frac{D}{2} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a expressão (V) na expressão (IV) e depois na expressão (III)
\[ \begin{gather} P=4\pi \left(\frac{D}{2}\right)^{2}\;\sigma T^{4}\\[5pt] P=4\pi \frac{D^{2}}{4}\;\sigma T^{4}\\[5pt] P=\pi \;D^{2}\;\sigma T^{4} \tag{VI} \end{gather} \]
A potência é dada pela derivada da energia em relação ao tempo
\[ \begin{gather} P=\frac{dE}{dt} \tag{VII} \end{gather} \]
a energia de repouso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E=m_{0}c^{2}} \tag{VIII} \end{gather} \]
onde m0 é a massa de repouso, substituindo as expressões (VI) e (VIII) na expressão (VII)
\[ \begin{gather} \pi D^{2}\sigma T^{4}=\frac{d\left(m_{0}c^{2}\right)}{dt} \end{gather} \]
como a velocidade da luz é constante
\[ \begin{gather} c^{2}\frac{dm_{0}}{dt}=\pi D^{2}\sigma T^{4} \end{gather} \]
assim a variação da massa será
\[ \begin{gather} \frac{dm_{0}}{dt}=\frac{\pi D^{2}\sigma T^{4}}{c^{2}} \end{gather} \]
adotando π=3,14 e substituindo os dados do problema
\[ \begin{gather} \frac{dm_{0}}{dt}=\frac{3,14.(1,4.10^{9})^{2}.(5,67.10^{-8}).(5700)^{4}}{(3.10^{8})^{2}}\\[5pt] \frac{dm_{0}}{dt}=\frac{3,14.1,96.10^{18}.5,67.10^{-8}.1,06.10^{15}}{9.10^{16}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{dm_{0}}{dt}=4,1.10^{9}\ \frac{\text{kg}}{\text{s}}} \end{gather} \]

b) O período de um ano medido em segundos é igual a
\[ \begin{gather} t=1\;\text{ano}\;\frac{365\;\text{dias}}{1\;\text{ano}}.\frac{24\;\text{horas}}{1\;\text{dia}}.\frac{60\;\text{minutos}}{1\;\text{hora}}.\frac{60\;\text{segundos}}{1\;\text{minuto}}=31.536.000\;\approx\;3,15.10^{7}\text{s} \end{gather} \]
Separando as variáveis e integrando a expressão do item anterior
\[ \begin{gather} \int d{m{\text '}}_{0}=\int 4,1.10^{9}dt{\text '} \end{gather} \]
Observação: Na expressão acima m' e t' são variáveis "mudas" de integração.

os limites da integral da massa vão de 0 até m0 (a massa total perdida), a integral no tempo vai de 0 até 3,15.107 s (um ano em segundos) e tirando a constante 4,1.109 para fora da integral
\[ \begin{gather} \int _{{0}}^{m_{0}}d{m{\text '}}_{0}=\int_{{0}}^{3,15.10^{7}}4,1.10^{9}dt{\text '}\\[5pt] \left.m{\text '}_{0}\;\right|_{0}^{m_{0}}=\left.t{\text '}\;\right|_{0}^{3,15.10^{7}}\\[5pt] m_{0}-0=4,1.10^{9}.(3,15.10^{7}-0)\\[5pt] m_{0}=4,1.10^{9}.3,15.10^{7}\\[5pt] m_{0}=1,3.10^{17}\ \text{kg} \end{gather} \]
portanto a fração de massa perdida a cada ano será
\[ \begin{gather} \frac{m_{0}}{M}=\frac{1,3.10^{17}}{2,0.10^{30}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{m_{0}}{M}=6,5.10^{-14}} \end{gather} \]
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