Exercício Resolvido de Oscilações Harmônicas
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Um bloco de massa m é ligado à extremidade de uma mola de constante elástica k e apoiado
sobre uma superfície horizontal sem atrito. A outra extremidade da mola se encontra presa em ponto fixo.
O bloco é deslocado de sua posição de equilíbrio e liberado. Determine:
a) A equação de movimento do bloco;
b) A velocidade em função da massa, m, da constante elástica, k, da amplitude, A e da distância, x, entre o bloco e o ponto de equilíbrio da mola;
c) O módulo da velocidade máxima;
d) A aceleração em função da massa, m, da constante elástica, k, e da distância, x entre o bloco e o ponto de equilíbrio da mola;
e) O módulo da aceleração máxima;
f) A energia cinética;
g) A energia potencial;
h) A energia total.
a) A equação de movimento do bloco;
b) A velocidade em função da massa, m, da constante elástica, k, da amplitude, A e da distância, x, entre o bloco e o ponto de equilíbrio da mola;
c) O módulo da velocidade máxima;
d) A aceleração em função da massa, m, da constante elástica, k, e da distância, x entre o bloco e o ponto de equilíbrio da mola;
e) O módulo da aceleração máxima;
f) A energia cinética;
g) A energia potencial;
h) A energia total.
Dados do problema:
- Massa do bloco: m;
- Constante elástica da mola: k.
Adotamos um sistema de referência com sentido positivo para a direita. O bloco é deslocado e liberado,
a força elástica da mola atuará no sentido de restabelecer a posição de equilíbrio (Figura 1).
a) Aplicando a 2.ª Lei de Newton (Figura 1)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}} \tag{I}
\end{gather}
\]
a força que atua no bloco é a força elástica da mola
\( {\vec{F}}_{E} \)
dada, em módulo por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{E}=-kx} \tag{II}
\end{gather}
\]
o sinal de negativo na força elástica indica que ela atua contra o sentido do deslocamento do bloco
(atua no sentido de restabelecer o equilíbrio). Substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
-kx=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\\[5pt]
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+kx=0
\end{gather}
\]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.ª Ordem. Dividindo toda a equação pela
massa m
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x=0
\end{gather}
\]
fazendo a definição
\( \omega_{0}^{2}\equiv \frac{k}{m} \)
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}x=0
\end{gather}
\]
Solução de \( \displaystyle \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}x=0 \)
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
A solução da equação diferencial será
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[
\begin{array}{l}
x=\operatorname{e}^{\lambda t}\\[5pt]
\dfrac{dx}{dt}=\lambda\operatorname{e}^{\lambda t}\\[5pt]
\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}
\end{array}
\]
substituindo estes valores na equação diferencial
\[
\begin{gather}
\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}+\omega_{0}^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda^{2}+\omega_{0}^{2}\right)=0\\[5pt]
\lambda^{2}+\omega_{0}^{2}=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}}\\[5pt]
\lambda^{2}+\omega_{0}^{2}=0
\end{gather}
\]
esta é a Equação Característica que tem como solução
\[
\begin{gather}
\lambda ^{2}=-\omega_{0}^{2}\\[5pt]
\lambda =\sqrt{-\omega_{0}^{2}}\\[5pt]
\lambda _{1,2}=\pm \omega_{0}\mathsf{i}
\end{gather}
\]
onde \( \mathsf{i}=\sqrt{-1\;} \).A solução da equação diferencial será
\[
\begin{gather}
x=C_{1}\operatorname{e}^{\lambda_{1}t}+C_{2}\operatorname{e}^{\lambda_{2}t}\\[5pt]
x=C_{1}\operatorname{e}^{\omega_{0}\mathsf{i}t}+C_{2}\operatorname{e}^{-\omega_{0}\mathsf{i}t}
\end{gather}
\]
onde C1 e C2 são constantes de integração, usando a
Fórmula de Euler
\( \operatorname{e}^{i\theta }=\cos \theta+\mathsf{i}\operatorname{sen}\theta \)
\[
\begin{gather}
x=C_{1}\left(\cos \omega_{0}t+\mathsf{i}\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)+C_{2}\left(\cos\omega_{0}t-\mathsf{i}\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)\\[5pt]
x=C_{1}\cos \omega_{0}t+\mathsf{i}C_{1}\operatorname{sen}\omega_{0}t+C_{2}\cos \omega_{0}t-\mathsf{i}C_{2}\operatorname{sen}\omega_{0}t\\[5pt]
x=\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos \omega_{0}t+\mathsf{i}\left(C_{1}-C_{2}\right)\operatorname{sen}\omega_{0}t
\end{gather}
\]
definindo duas novas constantes α e β em termos de C1 e
C2
\[
\begin{gather}
\alpha \equiv C_{1}+C_{2}\\[5pt]
\text{e}\\[5pt]
\beta \equiv \mathsf{i}(C_{1}-C_{2})
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
x=\alpha \cos \omega_{0}t+\beta \operatorname{sen}\omega_{0}t
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo esta expressão por
\( \sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}} \)
\[
\begin{gather}
x=\left(\alpha \cos \omega_{0}t+\beta\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)\frac{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}\;}}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}\;}}\\[5pt]
x=\sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}\;}\left(\frac{\alpha }{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}\cos \omega_{0}t+\frac{\beta }{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}\;}}\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)
\end{gather}
\]
fazendo as seguintes definições
\[
\begin{align}
& A\equiv \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}\\[5pt]
& \cos \varphi \equiv \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\\[5pt]
& \operatorname{sen}\varphi \equiv \frac{\beta }{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
x=A(\cos \varphi \cos \omega_{0}t+\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\omega_{0}t)
\end{gather}
\]
Lembrando da identidade trigonométrica
\( \cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b .\)
\[ \cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b \]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x=A\cos (\omega_{0}t-\varphi )}
\end{gather}
\]
b) A velocidade é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{dx}{dt}}
\end{gather}
\]
Derivada de \( x=A\cos (\omega_{0}t-\varphi ) \)
a função x(t)) é uma função composta, usando a Regra da Cadeia
a função x(t)) é uma função composta, usando a Regra da Cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dx[u(t)]}{dt}=\frac{dx}{du}\frac{du}{dt}
\end{gather}
\]
com
\( x(u)=A\cos u \)
e
\( u(t)=\omega_{0}t-\varphi \)
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{du}\frac{du}{dt}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{d(A \cos u)}{du}\frac{d(\omega_{0}t-\varphi)}{dt}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=A (-\operatorname{sen} u)(\omega_{0})\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=-\omega_{0}A\operatorname{sen}(\omega_{0}t-\varphi)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v=-\omega_{0}A\operatorname{sen}(\omega_{0}t-\varphi ) \tag{III}
\end{gather}
\]
Lembrando da identidade trigonométrica
\( \cos ^{2}\theta +\operatorname{sen}^{2}\theta=1 \)
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}\theta =\sqrt{1-\cos ^{2}\theta \;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v=-\omega_{0}A\sqrt{1-\cos ^{2}(\omega_{0}t-\varphi)}\\[5pt]
v=-\sqrt{\omega_{0}^{2}A^{2}[1-\cos ^{2}(\omega_{0}t-\varphi)]} \tag{IV}
\end{gather}
\]
escrevendo a solução do item (a) na forma seguinte e elevando ao quadrado ambos os lados da
equação
\[
\begin{gather}
\cos (\omega_{0}t-\varphi )=\frac{x}{A}\\[5pt]
\cos^{2}(\omega_{0}t-\varphi )=\frac{x^{2}}{A^{2}} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (V) em (IV) e a definição de
\( \omega_{0}^{2} \)
feita acima
\[
\begin{gather}
v=-\sqrt{\frac{k}{m}A^{2}\left(1-\frac{x^{2}}{A^{2}}\right)}\\[5pt]
v=-\sqrt{\frac{k}{m}A^{2}\left(\frac{A^{2}-x^{2}}{A^{2}}\right)}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v=-\sqrt{\frac{k}{m}\left(A^{2}-x^{2}\right)}}
\end{gather}
\]
c) Na solução do item (b) analisando o termo entre parênteses \( \left(A^{2}-x^{2}\right) \), temos que x2 é sempre positivo, portanto este termo terá um valor máximo para x = 0, assim o módulo da velocidade máxima será
\[
\begin{gather}
\left|\;v_{max}\;\right|=\sqrt{\frac{k}{m}\left(A^{2}-0^{2}\right)}\\[5pt]
\left|\;v_{max}\;\right|=\sqrt{\frac{k}{m}A^{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\left|\;v_{max}\;\right|=A\sqrt{\frac{k}{m}\;}}
\end{gather}
\]
d) A aceleração é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a=\frac{dv}{dt}}
\end{gather}
\]
derivando a expressão (III) do item (b)
Derivada de \( v=-\omega_{0}A\operatorname{sen}(\omega_{0}t-\varphi ) \)
a função v(t)) é uma função composta, usando a Regra da Cadeia
a função v(t)) é uma função composta, usando a Regra da Cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dv[u(t)]}{dt}=\frac{dv}{du}\frac{du}{dt}
\end{gather}
\]
com
\( v(u)=-\omega_{0}A\operatorname{sen}u \)
e
\( u(t)=\omega_{0}t-\varphi \)
\[
\begin{gather}
\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{du}\frac{du}{dt}\\[5pt]
\frac{dv}{dt}=\frac{d(-\omega_{0}A\operatorname{sen}u)}{du}\frac{d(\omega_{0}t-\varphi)}{dt}\\[5pt]
\frac{dv}{dt}=\omega_{0}A (-\operatorname{sen} u)(\omega_{0})\\[5pt]
\frac{dv}{dt}=-\omega_{0}^{2}A\cos (\omega_{0}t-\varphi)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a=-\omega_{0}^{2}A\cos (\omega_{0}t-\varphi )
\end{gather}
\]
comparando esta expressão com a solução do item (a) e com a definição de
\( \omega_{0}^{2} \)
feita acima
\[
a=-\frac{{k}}{m}\underbrace{A\cos (\omega_{0}t-\varphi )}_{x}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=-\frac{{k}}{m}x}
\end{gather}
\]
e) A aceleração máxima ocorre para o valor máximo de x, que ocorre quando a amplitude é máxima, x = A
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\left|\;a_{max}\;\right|=-{\frac{k}{m}}A}
\end{gather}
\]
f) A energia cinética é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{C}=\frac{mv^{2}}{2}} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (III) na expressão (VI)
\[
\begin{gather}
E_{C}=\frac{m\left(-\omega_{0}A\operatorname{sen}(\omega_{0}t-\varphi)\right)^{2}}{2}\\[5pt]
E_{C}=\frac{m\omega_{0}^{2}A^{2}\operatorname{sen}^{2}(\omega_{0}t-\varphi)}{2}
\end{gather}
\]
substituindo a definição de
\( \omega_{0}^{2} \)
feita acima
\[
\begin{gather}
E_{C}=\frac{m\left(-\omega_{0}A\operatorname{sen}(\omega_{0}t-\varphi)\right)^{2}}{2}\\[5pt]
E_{C}=m \omega_{0}^{2} \frac{A^{2}\operatorname{sen}^{2}(\omega_{0}t-\varphi )}{2}\\[5pt]
E_{C}=\cancel{m}\frac{k}{\cancel{m}}\frac{A^{2}\operatorname{sen}^{2}(\omega_{0}t-\varphi )}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E_{C}=\frac{kA^{2}}{2}\operatorname{sen}^{2}(\omega_{0}t-\varphi )}
\end{gather}
\]
g) A energia potencial elástica é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{P}=\frac{kx^{2}}{2}} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a solução do item (a) na expressão (VII)
\[
\begin{gather}
E_{P}=\frac{k\left[A\cos (\omega_{0}t-\varphi )\right]^{2}}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E_{P}=\frac{kA^{2}}{2}\cos ^{2}(\omega_{0}t-\varphi )}
\end{gather}
\]
h) A energia total será dada pela soma dos resultados dos itens (f) e (g)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{T}=E_{C}+E_{P}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E_{T}=\frac{kA^{2}}{2}\operatorname{sen}^{2}(\omega_{0}t-\varphi )+\frac{kA^{2}}{2}\cos ^{2}(\omega_{0}t-\varphi)\\[5pt]
E_{T}=\frac{kA^{2}}{2}\left[\underbrace{\operatorname{sen}^{2}(\omega_{0}t-\varphi )+\cos ^{2}(\omega_{0}t-\varphi )}_{1}\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E_{T}=\frac{kA^{2}}{2}}
\end{gather}
\]
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