Exercício Resolvido de Oscilações Harmônicas
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Um bloco de massa m = 0,25 kg é ligado a uma mola de constante elástica k = 16,25 N/m e a um amortecedor de constante de amortecimento b = 0,5 N.s/m. O bloco é deslocado de sua posição de equilíbrio O até um ponto P a 0,1 m e lançado se afastando do ponto de equilíbrio com velocidade inicial de 0,7 m/s. Adotando que a força de amortecimento é proporcional a velocidade, determine:
a) A equação do movimento;
b) Classifique o tipo de oscilação;
c) O gráfico da posição x em função do tempo t.


Dados do problema:
  • Massa do corpo:    m = 0,25 kg;
  • Constante elástica da mola:    k = 16,25 N/m;
  • Constante de amortecimento:    b = 0,5 N.s/m;
  • Posição inicial (t = 0):    x0 = 0,1 m;
  • Velocidade inicial (t = 0):    v0 = 0,7 m/s.
Esquema do problema:

Adota-se um sistema de referência com sentido positivo para a direita. O bloco é deslocado até a posição x0 = 0,1 m e lançado com velocidade inicial v0 = 0,7 m/s no mesmo sentido do referencial. Quando solto a força elástica da mola atuará no sentido de restabelecer a posição de equilíbrio (Figura 1). Com isto escrevemos as Condições Iniciais do problema:

Figura 1

Solução

a) Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}} \tag{I} \end{gather} \]
temos que as forças que atuam no bloco são a força elástica da mola (\( {\vec{F}}_{E} \)) e a força de amortecimento (\( {\vec{F}}_{R} \)), dadas, em módulo, por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{E}=-kx} \tag{II-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{R}=-bv=-b\frac{dx}{dt}} \tag{II-b} \end{gather} \]
o sinal de negativo na força elástica representa que ela atua contra o sentido do deslocamento do bloco (atua no sentido de restabelecer o equilíbrio), na força de amortecimento representa que ela atua contra o sentido da velocidade (atua no sentido de frear o movimento). Substituindo as expressões de (II) em (I)
\[ \begin{gather} -kx-b\frac{dx}{dt}=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\\ m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+b\frac{dx}{dt}+kx=0 \end{gather} \]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária de 2.ª Ordem. Dividindo toda a equação pela massa (m)
\[ \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=0 \]
substituindo os valores dados no problema
\[ \begin{gather} \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{0,5}{0,25}\frac{dx}{dt}+\frac{16,25}{0,25}x=0\\ \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+2\frac{dx}{dt}+65x=0 \tag{III} \end{gather} \]
Solução de    \( \displaystyle \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+2\frac{dx}{dt}+65x=0 \)

a solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[ \begin{array}{l} x=\operatorname{e}^{\lambda t}\\ \dfrac{dx}{dt}=\lambda \operatorname{e}^{\lambda t}\\ \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=\lambda ^{2}\operatorname{e}^{\lambda t} \end{array} \]
\[ \begin{gather} \lambda ^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}+2\lambda\operatorname{e}^{\lambda t}+65\operatorname{e}^{\lambda t}=0\\ \operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda ^{2}+2\lambda+65\right)=0\\ \lambda ^{2}+2\lambda+65=\frac{0}{{\operatorname{e}}^{\lambda t}}\\ \lambda ^{2}+2\lambda+65=0 \end{gather} \]
esta é a Equação Característica que tem como solução
\[ \Delta =b^{2}-4ac=2^{2}-4.1.65=4-260=-256 \]
para Δ<0 as raízes são complexas da forma \( a+b\text{i} \), onde \( \text{i}=\sqrt{-1} \)
\[ \begin{gather} \lambda =\frac{-b\pm \sqrt{\Delta \;}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{-256\;}}{2.1}=\frac{-2\pm 16\text{i}}{2}\\ \lambda_{1}=-1+8\text{i}\qquad\mathrm{e}\qquad \lambda_{2}=-1-8\text{i} \end{gather} \]
como Δ<0 a solução da expressão (III) é escrita como
\[ \begin{gather} x=C_{1}\operatorname{e}^{\lambda_{1}t}+C_{2}\operatorname{e}^{\lambda_{2}t}\\ x=C_{1}\operatorname{e}^{(-1+8\text{i})t}+C_{2}\operatorname{e}^{(-1-8\text{i})t} \end{gather} \]
onde C1 e C2 são constantes de integração. Aplicando a propriedade   \( a^{m+n}=a^{m}.a^{n} \)   reescrevemos
\[ \begin{gather} x=C_{1}\operatorname{e}^{-t}.\operatorname{e}^{8\text{i}t}+C_{2}\operatorname{e}^{-t}.\operatorname{e}^{-8\text{i}t}\\ x=\operatorname{e}^{-t}\left(C_{1}\operatorname{e}^{8\text{i}t}+C_{2}\operatorname{e}^{-8\text{i}t}\right) \end{gather} \]
usando a Relação de Euler (leia-se óiler)   \( \operatorname{e}^{i\theta }=\cos \theta+\text{i}\operatorname{sen}\theta \)
\[ \begin{gather} x=\operatorname{e}^{-t}\left[C_{1}\left(\cos8t+\text{i}\operatorname{sen}8t\right)+C_{2}\left(\cos8t-\text{i}\operatorname{sen}8t\right)\right]\\ x=\operatorname{e}^{-t}\left[C_{1}\cos8t+\text{i}C_{1}\operatorname{sen}8t+C_{2}\cos8t-\text{i}C_{2}\operatorname{sen}8t\right] \end{gather} \]
coletando os termos em seno e cosseno
\[ \begin{gather} x=\operatorname{e}^{-t}\left[\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos8t+\left(\text{i}C_{1}-\text{i}C_{2}\right)\operatorname{sen}8t\right]\\ x=\operatorname{e}^{-t}\left[\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos8t+\text{i}\left(C_{1}-C_{2}\right)\operatorname{sen}8t\right] \end{gather} \]
definindo duas novas constantes α e β em termos de C1 e C2
\[ \begin{gather} \alpha \equiv C_{1}+C_{2}\\ \text{e}\\ \beta \equiv \text{i}(C_{1}-C_{2}) \end{gather} \]
\[ \begin{gather} x=\operatorname{e}^{-t}\left(\alpha \cos 8t+\beta\operatorname{sen}8t\right) \tag{IV} \end{gather} \]
multiplicando e dividindo esta expressão por   \( \sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}\;} \)
\[ \begin{gather} x=\operatorname{e}^{-t}\left(\alpha \cos 8t+\beta\operatorname{sen}8t\right)\frac{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}\;}}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}\\ x=\sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}}\operatorname{e}^{-t}\left(\frac{\alpha }{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}}}\cos 8t+\frac{\beta }{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}\;}}\operatorname{sen}8t\right) \end{gather} \]
fazendo as seguintes definições
\[ \begin{gather} A\equiv \sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}\;}\\ \cos \varphi\equiv \frac{\alpha }{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}\;}}\\ \operatorname{sen}\varphi \equiv \frac{\beta }{\sqrt{\alpha^{2}+\beta ^{2}\;}} \end{gather} \]
\[ x=A\operatorname{e}^{-t}\left(\cos \varphi \cos8t+\operatorname{sen}\varphi \operatorname{sen}8t\right) \]
Observação: Lembrando da Trigonometria
\[ (a-b)=\cos a\;\cos b+\operatorname{sen}a\;\operatorname{sen}b \]
\[ \begin{gather} x=A\operatorname{e}^{-t}\cos (8t-\varphi ) \tag{V} \end{gather} \]
onde A e φ são constantes de integração determinadas pelas Condições Iniciais, derivando a expressão (V) em relação ao tempo

Derivada de    \( x=A\operatorname{e}^{-t}\cos (8 t-\varphi ) \)

derivando o produto de funções na forma:
\[ (uv)'=u'v+uv' \]
onde   \( u=A\operatorname{e}^{-t} \)   e   \( v=\cos (8t-\varphi ) \)
\[ \frac{du}{dt}=A(-1)e^{-t}=-A\operatorname{e}^{-t} \]
e a função cosseno é uma função composta cuja derivada é do tipo
\[ \frac{dv[w(t)]}{dt}=\frac{dv}{dw}\frac{dw}{dt} \]
com \( w=8t-\varphi \)
\[ \begin{array}{l} \dfrac{dv}{dw}=-\operatorname{sen}w=-\operatorname{sen}(8t-\varphi)\\ \dfrac{dw}{dt}=8 \end{array} \]
\[ \frac{dv}{dt}=-8\operatorname{sen}(8t-\varphi ) \]
\[ \begin{gather} \frac{dx}{dt}=\left[\left(-A\operatorname{e}^{-t}\right)\cos(8t-\varphi)\right]+\left[A\operatorname{e}^{-t}\left(-8\operatorname{sen}(8t-\varphi)\right)\right]\\ \frac{dx}{dt}=-A\operatorname{e}^{-t}\cos (8t-\varphi)-8A\operatorname{e}^{-t}\operatorname{sen}(8t-\varphi)\\ \frac{dx}{dt}=-A\operatorname{e}^{-t}\left[\cos (8t-\varphi)+8\operatorname{sen}(8t-\varphi )\right] \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo as Condições Iniciais nas expressões (V) e (VI)
\[ \begin{gather} x(0)=0,1=A\operatorname{e}^{-0}\cos (8.0-\varphi)\\ 0,1=A\operatorname{e}^{-0}\cos (8.0-\varphi )\\ 0,1=A\cos (-\varphi) \end{gather} \]
como o cosseno é uma função par temos   \( \cos \varphi =\cos (-\varphi ) \)
\[ \begin{gather} 0,1=A\cos \varphi \tag{VII} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{dx(0)}{dt}=0,7=-A\operatorname{e}^{-0}\cos(8.0-\varphi )-8A\operatorname{e}^{-0}\operatorname{sen}(8.0-\varphi)\\ 0,7=-A\operatorname{e}^{-0}\cos (8.0-\varphi)-8A\operatorname{e}^{-0}\operatorname{sen}(8.0-\varphi )\\ 0,7=-A\cos(-\varphi )-8A\operatorname{sen}(-\varphi ) \end{gather} \]
como o cosseno é uma função par e seno é uma função ímpar \( \operatorname{sen}\varphi =-\operatorname{sen}(-\varphi ) \) ficamos com
\[ \begin{gather} 0,7=-A\cos \varphi +8A\operatorname{sen}\varphi \tag{VIII} \end{gather} \]
isolando o valor de A na expressão (VII)
\[ \begin{gather} A=\frac{0,1}{\cos \varphi } \tag{IX} \end{gather} \]
e substituindo na expressão (VIII)
\[ \begin{gather} 0,7=\frac{-{0,1}}{\cos \varphi }.\cos \varphi+8.\frac{0,1}{\cos \varphi }.\operatorname{sen}\varphi\\ 0,7=-0,1+0,8\operatorname{tg}\varphi \\ 0,8\operatorname{tg}\varphi=0,7+0,1\\ 0,8\operatorname{tg}\varphi =0,8\\ \operatorname{tg}\varphi=\frac{0,8}{0,8}\\ \operatorname{tg}\varphi =1\\ \varphi=\operatorname{arctg}(1)\\ \varphi =\frac{\pi}{4} \end{gather} \]
substituindo o valor de φ na expressão (IX)
\[ \begin{gather} A=\frac{0,1}{\cos \frac{\pi}{4}}\\ A=\frac{0,1}{\frac{\sqrt{2\;}}{2}}\\ A=\frac{0,1.2}{\sqrt{2\;}}\\ A=\frac{0,2}{\sqrt{2\;}} \end{gather} \]
multiplicando o numerador e o denominador por \( \sqrt{2\;} \)
\[ \begin{gather} A=\frac{0,2}{\sqrt{2\;}}.\frac{\sqrt{2\;}}{\sqrt{2\;}}\\ A=\frac{0,2\sqrt{2\;}}{2}\\A=0,1\sqrt{2\;} \end{gather} \]
substituindo as constantes A e φ na expressão (V)
\[ x(t)=0,1\sqrt{2\;}\operatorname{e}^{-t}\cos \left(8t-\frac{\pi}{4}\right) \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {x(t)=0,1\sqrt{2\;}\operatorname{e}^{-t}\cos \left(8t-\frac{\pi}{4}\right)} \]

b) Como Δ<0 este é um oscilador subcrítico.

c) Construção do gráfico de
\[ \begin{gather} x(t)=0,1\sqrt{2\;}\operatorname{e}^{-t}\cos \left(8t-\frac{\pi}{4}\right) \tag{X} \end{gather} \]
A função x(t) é o produto de duas funções, \( f(t)=0,1\sqrt{2\;}\operatorname{e}^{-t} \) e \( g(t)=\cos \left(8t-\frac{\pi}{4}\right) \). Para determinar as raízes fazemos x(t) = 0, como x(t) = f(t)g(t) temos f(t) = 0 ou g(t) = 0.
  • Para g(t) = 0
\[ \begin{gather} g(t)=\cos \left(8t-\frac{\pi}{4}\right)=0\\ \cos\left(8t-\frac{\pi}{4}\right)=0 \end{gather} \]
a função cosseno é zero quando seu argumento \( \left(8t-\frac{\pi}{4}\right) \) é igual a \( \frac{\pi}{2} \), \( \frac{3\pi}{2} \), \( \frac{5\pi}{2} \),..., \( \frac{(2n+1)\pi}{2} \), com n = 0, 1, 2, 3,..., portanto devemos ter
\[ \begin{gather} 8t-\frac{\pi}{4}=\frac{(2n+1)\pi }{2}\\ 8t=\frac{2\pi n}{2}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\\ 8t=\frac{4\pi n+2\pi +\pi}{4}\\ 8t=\frac{4\pi n+3\pi }{4}\\ 8t=\frac{(4n+3)\pi}{4}\\t=\frac{(4n+3)\pi }{4.8}\\ t=\frac{(4n+3)\pi}{32} \end{gather} \]
para esses valores de t temos as raízes da função cosseno, os quatro primeiros valores serão, para n = 0, 1, 2 e 3, respectivamente, t = 0,29; 0,69; 1,08 e 1,47 (Gráfico 1).

Gráfico 1
  • Para f(t) = 0
\[ \begin{gather} f(t)=0,1\sqrt{2\;}\operatorname{e}^{-t}=0\\0,1\sqrt{2\;}\operatorname{e}^{-t}=0\\ \operatorname{e}^{-t}=\frac{0}{0,1\sqrt{2\;}}\\ \operatorname{e}^{-t}=0 \end{gather} \]
como não exite t que satisfaça essa igualdade a função f(t) não cruza o eixo das abscissas.
Para qualquer valor de t real a função será sempre positiva,   f(t) > 0.
Derivando a expressão f(t)
\[ \begin{gather} \frac{df}{dt}=(-1).0,1\sqrt{2\;}\operatorname{e}^{-t}\\ \frac{df}{dt}=-0,1\sqrt{2\;}\operatorname{e}^{-t} \end{gather} \]
para qualquer valor de t real a derivada será sempre negativa \( \left(\frac{df(t)}{dt}<0\right) \) e a função decresce sempre. Fazendo   \( \frac{df(t)}{dt}=0 \)   encontramos pontos de máximos e mínimos da função.
\[ \begin{gather} \frac{df}{dt}=-0,1\sqrt{2\;}\operatorname{e}^{-t}=0\\ \operatorname{e}^{-t}=\frac{0}{-0,1\sqrt{2\;}}\\ \operatorname{e}^{-t}=0 \end{gather} \]
como não exite t que satisfaça essa igualdade não existem pontos de máximo ou mínimo da função.
Derivando uma segunda vez a função
\[ \begin{gather} \frac{d^{2}f}{dt^{2}}=-(-1).0,1\sqrt{2\;}\operatorname{e}^{-t}\\ \frac{d^{2}f}{dt^{2}}=0,1\sqrt{2\;}\operatorname{e}^{-t} \end{gather} \]
para qualquer valor de t real a derivada segunda será sempre positiva \( \left(\frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}}>0\right) \) e a função possui “boca” voltada para cima. Fazendo   \( \frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}}=0 \)   encontramos pontos de inflexão na função.
\[ \begin{gather} \frac{d^{2}f}{dt^{2}}=0,1\sqrt{2\;}\operatorname{e}^{-t}=0\\ 0,1\sqrt{2\;}\operatorname{e}^{-t}=0\\ \operatorname{e}^{-t}=\frac{0}{0,1\sqrt{2\;}}\\ \operatorname{e}^{-t}=0 \end{gather} \]
como não exite t que satisfaça essa igualdade não existem pontos de inflexão na função.
Para t = 0 a expressão de f(0) fornece
\[ \begin{gather} f(0)=0,1\sqrt{2\;}\operatorname{e}^{-0}\\ f(0)=0,1\sqrt{2\;}\\ f(0)=0,1.1,4\\ f(0)=0,14 \end{gather} \]
Como a variável t representa o tempo não tem sentido o cálculo de valores negativos (t<0), para t tendendo a infinito
\[ \lim _{t\rightarrow \infty }f(t)=\lim _{t\rightarrow \infty}0,1\sqrt{2\;}\operatorname{e}^{-t}=\lim _{t\rightarrow \infty}{\frac{0,1\sqrt{2\;}}{\operatorname{e}^{t}}}=0 \]
Da análise feita acima traçamos o gráfico de f em função de t (Gráfico 2).
Gráfico 2

Como x(t) = f(t)g(t) a combinação dos gráficos produz uma curva que oscila como a função cosseno amortecida pela exponencial (Gráfico 3).
Gráfico 3
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