Exercício Resolvido de Oscilações
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Um corpo, de massa m, está suspenso por um fio, de constante de torção κ, preso ao teto. O corpo é deslocado de um ângulo θ0 e liberado a partir do repouso. Determine:
a) A equação diferencial do movimento;
b) A solução da equação para o pêndulo de torção e a frequência angular das oscilações;
c) O período das oscilações.


Dados do problema:
  • Massa do corpo:    m;
  • Constante de torção do fio:   κ.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência com sentido positivo no sentido contrarrelógio. O disco é deslocado e solto, o torque no fio fará com que retorne à posição de equilíbrio, a velocidade angular estará apontando no sentido contrário do referencial e aumentando em módulo no sentido da posição de equilíbrio (Figura 1). Com isto escrevemos as Condições Iniciais do problema
\[ \begin{array}{l} \theta (0)=\theta_{0}\\[10pt] \Omega_{0}=\dfrac{d\theta (0)}{dt}=0 \end{array} \]

Observação: Para a velocidade angular foi usado o símbolo Ω para não confundir com ω usado para frequência angular das oscilações.
Figura 1

Solução

a) Aplicando a 2.ª Lei de Newton para o movimento de rotação
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {N=I\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}} \tag{I} \end{gather} \]
a única força que atua no corpo é o torque no fio   \( \vec N \)   dado, em módulo, por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {N=-\kappa \theta} \tag{II} \end{gather} \]
o sinal de negativo no torque representa que ele atua contra o sentido do deslocamento do disco (atua no sentido de restabelecer o equilíbrio). Substituindo a expressão de (II) em (I)
\[ \begin{gather} -\kappa \theta =I\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\\[5pt] I\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\kappa \theta =0 \end{gather} \]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.ª Ordem. Dividindo toda a equação pelo momento de inércia I
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{\kappa}{I}\theta =0} \end{gather} \]


b) Na equação do item anterior vamos fazer a seguinte definição
\[ \begin{gather} \omega_{0}^{2}\equiv \frac{\kappa}{I} \end{gather} \]
onde ω0 é a frequência angular
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\omega_{0}=\sqrt{\frac{\kappa}{I}\;}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}\theta =0 \tag{III} \end{gather} \]

Solução de    \( \displaystyle \frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}\theta =0 \)

A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[ \begin{gather} \theta =\operatorname{e}^{\lambda t}\hfill\\[5pt] \frac{d\theta}{dt}=\lambda \operatorname{e}^{\lambda t}\\[5pt] \frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t} \end{gather} \]
substituindo estes valores na equação diferencial
\[ \begin{gather} \lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}+\omega_{0}^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}=0\\[5pt] \operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda^{2}+\omega_{0}^{2}\right)=0\\[5pt] \lambda^{2}+\omega_{0}^{2}=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}}\\[5pt] \lambda^{2}+\omega_{0}^{2}=0 \end{gather} \]
esta é a Equação Característica que tem como solução
\[ \begin{gather} \Delta =b^{2}-4ac=0^{2}-4.1.\omega_{0}^{2}=-4\omega_{0}^{2}\\[5pt] \lambda_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta\;}}{2a}=\frac{-0+\sqrt{-4\omega_{0}^{2}\;}}{2.1}=\frac{\sqrt{4\omega_{0}^{2}\;}\sqrt{-1\;}}{2}=2\omega_{0}\mathrm{i}\\[5pt] \lambda_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta \;}}{2a}=\frac{-0-\sqrt{-4\omega_{0}^{2}\;}}{2.1}=\frac{-\sqrt{4\omega_{0}^{2}\;}\sqrt{-1\;}}{2}=-2\omega _{0}\mathrm{i} \end{gather} \]
onde \( \mathsf{i}=\sqrt{-1\;} \).
A solução da equação diferencial será
\[ \begin{gather} \theta =C_{1}\operatorname{e}^{\lambda_{1}t}+C_{2}\operatorname{e}^{\lambda_{2}t}\\[5pt] \theta=C_{1}\operatorname{e}^{2\omega_{0}\mathrm{i}t}+C_{2}\operatorname{e}^{-2\omega_{0}\mathrm{i}t} \end{gather} \]
onde C1 e C2 são constantes de integração, usando a Fórmula de Euler   \( \operatorname{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos \theta+\mathrm{i}\operatorname{sen}\theta \)
\[ \begin{gather} \theta =C_{1}\left(\cos 2\omega_{0}t+\mathrm{i}\operatorname{sen}2\omega_{0}t\right)+C_{2}\left(\cos2\omega_{0}t-\mathrm{i}\operatorname{sen}2\omega_{0}t\right)\\[5pt] \theta=C_{1}\cos 2\omega_{0}t+\mathrm{i}C_{1}\operatorname{sen}2\omega_{0}t+C_{2}\cos 2\omega_{0}t-\mathrm{i}C_{2}\operatorname{sen}2\omega_{0}t\\[5pt] \theta =\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos 2\omega_{0}t+\mathrm{i}\left(C_{1}-C_{2}\right)\operatorname{sen}2\omega_{0}t \end{gather} \]
definindo duas novas constantes α e β em termos de C1 e C2
\[ \begin{gather} \alpha \equiv C_{1}+C_{2}\\[5pt] \text{e}\\[5pt] \beta \equiv\mathrm{i}(C_{1}-C_{2}) \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \theta =\alpha \cos \omega_{0}t+\beta \operatorname{sen}\omega_{0}t \end{gather} \]
multiplicando e dividindo esta expressão por   \( \sqrt{\alpha^{2}+\beta ^{2}\;} \)
\[ \begin{gather} \theta =\left(\alpha \cos \omega_{0}t+\beta\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)\frac{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta ^{2}\;}}\\[5pt] \theta =\sqrt{\alpha^{2}+\beta ^{2}\;}\left(\frac{\alpha }{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\cos \omega_{0}t+\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\operatorname{sen}\omega_{0}t\right) \end{gather} \]
fazendo as seguintes definições
\[ \begin{array}{l} A\equiv \sqrt{\alpha^{2}+\beta ^{2}\;}\hfill \\[5pt] \cos\varphi \equiv \dfrac{\alpha }{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\\[5pt] \operatorname{sen}\varphi\equiv \dfrac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}} \end{array} \]
\[ \begin{gather} \theta =A\left(\cos \varphi \cos \omega_{0}t+\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\omega_{0}t\right) \end{gather} \]
Lembrando da identidade trigonométrica   \( \cos (a-b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen}\cos a\operatorname{sen}b \).
\[ \begin{gather} \theta (t)=A\cos \left(\omega_{0}t-\varphi \right) \tag{IV} \end{gather} \]
onde A e φ são constantes de integração determinadas pelas Condições Iniciais.
Derivando a expressão (IV) em relação ao tempo, a função θ(t) é uma função composta, usando a Regra da Cadeia
\[ \begin{gather} \frac{d\theta [w(t)]}{dt}=\frac{d\theta}{dw}\frac{dw}{dt} \end{gather} \]
com   \( \theta =A\cos w \)   e   \( w=\omega_{0}t+\varphi \)
\[ \begin{gather} \frac{d\theta}{dt}=\frac{d\theta}{dw}\frac{dw}{dt}\\[5pt] \frac{d\theta}{dt}=\frac{d\left(A\cos w\right)}{dw}\frac{d\left(\omega_{0}t+\varphi\right)}{dt}\\[5pt] \frac{d\theta}{dt}=A\left(-\operatorname{sen}w\right)\left({\omega_0}\right)\\[5pt] \frac{d\theta}{dt}=-A\omega_{0}\operatorname{sen}(\omega_{0}t+\varphi) \tag{V} \end{gather} \]
Substituindo as Condições Iniciais nas expressões (IV) e (V)
\[ \begin{gather} \theta (0)=\theta_{0}=A\cos \left(\omega_{0}.0-\varphi\right)\\[5pt] \theta_{0}=A\cos \varphi\\[5pt] A=\frac{\theta_{0}}{\cos \varphi} \tag{VI} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{d\theta (0)}{dt}=0=-A\omega_{0}\operatorname{sen}(\omega _{0}.0+\varphi)\\[5pt] 0=-A\omega_{0}\operatorname{sen}\varphi \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VI) na expressão (VII)
\[ \begin{gather} 0=\frac{\theta_{0}}{\cos \varphi }\omega_{0}\operatorname{sen}\varphi\\[5pt] \operatorname{tg}\varphi =0\\[5pt] \varphi=\operatorname{arctg}0\\[5pt] \varphi=0 \tag{VIII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VIII) na expressão (VI)
\[ \begin{gather} A=\frac{\theta_{0}}{\cos 0}\\[5pt] A=\theta_{0} \end{gather} \]
substituindo as constantes A e φ na expressão (IV)
\[ \begin{gather} \theta =\theta_{0}\cos \omega_{0}t \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta (t)=\theta_{0}\cos \omega_{0}t} \end{gather} \]


c) O período das oscilações é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {T=\frac{2\pi}{\omega}} \end{gather} \]
substituindo a frequência angular ω0 encontrada acima
\[ \begin{gather} T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{\kappa}{I}\;}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T=2\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa}\;}} \end{gather} \]
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