Exercício Resolvido de Oscilações Harmônicas
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Um bloco de massa m é ligado a uma mola de constante elástica k. O bloco é lançado a
partir da posição de equilíbrio O com velocidade inicial v0. Determine:
a) A equação diferencial do movimento;
b) A solução da equação para o sistema massa-mola e a frequência angular das oscilações.
a) A equação diferencial do movimento;
b) A solução da equação para o sistema massa-mola e a frequência angular das oscilações.
Dados do problema:
- Massa do corpo: m;
- Constante elástica da mola: k;
- Posição inicial (t = 0): x0;
- Velocidade inicial (t = 0): v0.
Adotamos um sistema de referência com sentido positivo para a direita. O bloco está na origem do sistema
de referência, x0 = 0 e lançado com velocidade inicial v0. Quando
solto a força elástica da mola atuará no sentido de restabelecer o posição de equilíbrio (Figura 1).
Com isto escrevemos as Condições Iniciais do problema
\[
\begin{align}
& x(0)=0\\[10pt]
& v=\frac{dx(0)}{dt}=v_{0}
\end{align}
\]
Solução
a) Aplicando a 2.ª Lei de Newton (Figura 1)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}} \tag{I}
\end{gather}
\]
a força que atua no bloco é a força elástica da mola
\( {\vec{F}}_{E} \)
dada, em módulo, por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{E}=-kx} \tag{II}
\end{gather}
\]
o sinal de negativo na força elástica indica que ela atua contra o sentido do deslocamento do bloco (atua no
sentido de restabelecer o equilíbrio). Substituindo a expressão de (II) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
-kx=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\\[5pt]
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+kx=0
\end{gather}
\]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.aªOrdem. Dividindo toda a equação pela
massa m
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x=0}
\end{gather}
\]
b) Na equação do item anterior vamos fazer a seguinte definição
\[
\begin{gather}
\omega_{0}^{2}\equiv \frac{k}{m}
\end{gather}
\]
onde ω0 é a frequência angular
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}\;}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}x=0 \tag{III}
\end{gather}
\]
Solução de \( \displaystyle \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}x=0 \)
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
A solução da equação diferencial será
Derivando a expressão (IV) em relação ao tempo, a função x(t) é uma função composta, usando a Regra da Cadeia
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[
\begin{array}{l}
x=\operatorname{e}^{\lambda t}\\[5pt]
\dfrac{dx}{dt}=\lambda \operatorname{e}^{\lambda t}\\[5pt]
\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}
\end{array}
\]
substituindo estes valores na equação diferencial
\[
\begin{gather}
\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}+\omega_{0}^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda^{2}+\omega_{0}^{2}\right)=0\\[5pt]
\lambda^{2}+\omega_{0}^{2}=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}}\\[5pt]
\lambda^{2}+\omega_{0}^{2}=0
\end{gather}
\]
esta é a Equação Característica que tem como solução
\[
\begin{gather}
\lambda ^{2}=-\omega_{0}^{2}\\
\lambda =\sqrt{-\omega_{0}^{2}}\\
\lambda _{1,2}=\pm \omega_{0}\text{i}
\end{gather}
\]
onde \( \mathsf{i}=\sqrt{-1\;} \).A solução da equação diferencial será
\[
\begin{gather}
x=C_{1}\operatorname{e}^{\lambda_{1}t}+C_{2}\operatorname{e}^{\lambda_{2}t}\\[5pt]
x=C_{1}\operatorname{e}^{2\omega_{0}\mathsf{i}t}+C_{2}\operatorname{e}^{-2\omega_{0}\mathsf{i}t}
\end{gather}
\]
onde C1 e C2 são constantes de integração, usando a
Fórmula de Euler
\( \operatorname{e}^{\mathsf{i}\theta }=\cos \theta+\mathsf{i}\operatorname{sen}\theta \)
\[
\begin{gather}
x=C_{1}\left(\cos \omega_{0}t+\mathsf{i}\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)+C_{2}\left(\cos\omega_{0}t-\mathsf{i}\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)\\[5pt]
x=C_{1}\cos \omega_{0}t+\mathsf{i}C_{1}\operatorname{sen}\omega_{0}t+C_{2}\cos \omega_{0}t-\mathsf{i}C_{2}\operatorname{sen}\omega_{0}t\\[5pt]
x=\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos \omega_{0}t+\mathsf{i}\left(C_{1}-C_{2}\right)\operatorname{sen}\omega_{0}t
\end{gather}
\]
definindo duas novas constantes α e β em termos de C1 e
C2
\[
\begin{gather}
\alpha \equiv C_{1}+C_{2}\\[5pt]
\text{e}\\[5pt]
\beta \equiv\mathsf{i}(C_{1}-C_{2})
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
x=\alpha \cos \omega_{0}t+\beta \operatorname{sen}\omega_{0}t
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo esta expressão por
\( \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;} \)
\[
\begin{gather}
x=\left(\alpha \cos \omega_{0}t+\beta\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)\frac{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\\[5pt]
x=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}\left(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\cos \omega_{0}t+\frac{\beta }{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)
\end{gather}
\]
fazendo as seguintes definições
\[
\begin{align}
& A\equiv \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}\\[5pt]
& \operatorname{sen}\varphi \equiv \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\\[5pt]
& \cos \varphi \equiv \frac{\beta }{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
x=A\left(\operatorname{sen}\varphi \cos \omega_{0}t+\cos \varphi\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)
\end{gather}
\]
Lembrando da identidade trigonométrica
\( \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\cos a\operatorname{sen}b .\)
\[ \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\cos a\operatorname{sen}b \]
\[
\begin{gather}
x(t)=A\operatorname{sen}\left(\omega_{0}t+\varphi \right) \tag{IV}
\end{gather}
\]
onde A e φ são constantes de integração determinadas pelas Condições Iniciais.Derivando a expressão (IV) em relação ao tempo, a função x(t) é uma função composta, usando a Regra da Cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dx[w(t)]}{dt}=\frac{dx}{dw}\frac{dw}{dt}
\end{gather}
\]
com
\( x=A\operatorname{sen}w \)
e
\( w=\omega_{0}t+\varphi \)
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{dw}\frac{dw}{dt}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{d\left(A\operatorname{sen}w\right)}{dw}\frac{d\left(\omega_{0}t+\varphi \right)}{dt}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=A\left(\cos w\right)\left(\omega_{0}\right)\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=A\omega_{0}\cos(\omega_{0}t+\varphi) \tag{V}
\end{gather}
\]
Substituindo as Condições Iniciais nas expressões (IV) e (V)
\[
\begin{gather}
x(0)=0=A\operatorname{sen}\left(\omega_{0}.0+\varphi\right)\\[5pt]
A\operatorname{sen}\varphi=0\\[5pt]
\operatorname{sen}\varphi=\frac{0}{A}\\[5pt]
\operatorname{sen}\varphi=0\\[5pt]
\varphi=\operatorname{arcsen}(0)\\[5pt]
\varphi=0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dx(0)}{dt}=v_{0}=A\omega_{0}\cos (\omega_{0}.0+0)\\[5pt]
v_{0}=A\omega_{0}\cos (0)\\[5pt]
v_{0}=A\omega_{0}.1\\[5pt]
A=\frac{v_{0}}{\omega_{0}}
\end{gather}
\]
substituindo as constantes A e φ na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
x=\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\operatorname{sen}\omega_{0}t
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x(t)=\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\operatorname{sen}\omega_{0}t}
\end{gather}
\]
Observação: A escolha dos termos senφ e cosφ podem ser feitas
aleatóriamente ou por conveniência. Neste caso escolhemos por conveniência para que a constante
φ fosse igual à zero. Se a escolha fosse ao contrário teríamos
\[
\begin{gather}
x=A\left(\cos \varphi \cos \omega_{0}t+\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\omega_{0}t\right)
\end{gather}
\]
usando a identidade trigonométrica
\( cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b .\)
\[ cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b \]
a função x(t) seria
\[
\begin{gather}
x(t)=A\cos \left(\omega_{0}t-\varphi \right)
\end{gather}
\]
a derivada na expressão (V) seria dada por
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=-A\omega_{0}\operatorname{sen}(\omega_{0}t+\varphi)
\end{gather}
\]
o valor de φ seria
\( \frac{\pi}{2} \),
e A teria o mesmo valor, o resultado final para x(t)
\[
\begin{gather}
x(t)=\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\cos \left(\omega_{0}t-\frac{\pi}{2}\right)
\end{gather}
\]
para os dois resultados os valores de x(t) seriam os mesmos para os mesmos valores
de t.
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